Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的方程為

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），在以此坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=1，則直線l與曲線C的公共點(diǎn)共有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：由曲線C的方程

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為x²+y²=1，可得圓心C，半徑r．由直線l的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+

π

4

）=1，展開(kāi)為

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=1，化為y+x-

2

=0．再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離d，再與半徑r比較大小即可．

解答： 解：由曲線C的方程

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為x²+y²=1，可得圓心C（0，0），半徑r=1．
由直線l的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+

π

4

）=1，展開(kāi)為

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=1，化為y+x-

2

=0．
∴圓心C到直線l的距離d=

2

2

=1=r．
因此直線l與⊙C相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與曲線的交點(diǎn)判斷、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．