Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax-b
（1）若a，b都是從0，1，2，3，4五個數(shù)中任取一個數(shù)，求上述函數(shù)有零點的概率；
（2）若a，b都是從區(qū)間[0，4]上任取得一個數(shù)，求f（1）＞0得概率；
（3）設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程3ax+b²-b-f（x）=0，若a是從區(qū)間[0，3]內(nèi)任取得一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]內(nèi)任取一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件a，b都從0，1，2，3，4五個數(shù)中任取的一個數(shù)的基本事件總數(shù)為5×5個，函數(shù)有零點的條件為△=a²-4b≥0，即a²≥4b，列舉出所有事件的結(jié)果數(shù)，得到概率．
（2）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發(fā)生包含的事件可以寫出a，b滿足的條件，滿足條件的事件也可以寫出，畫出圖形，做出兩個事件對應(yīng)的圖形的面積，得到比值．
（3）由題意求出點（a，b）所構(gòu)成的矩形面積，再由線性規(guī)劃知識求出滿足a≥b的區(qū)域面積，由測度比是面積比求概率．

解答： 解：（1）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發(fā)生包含的事件a，b都從0，1，2，3，4五個數(shù)中任取的一個數(shù)的
基本事件總數(shù)為N=5×5=25個
函數(shù)有零點的條件為△=a²-4b≥0，即a²≥4b
∵事件“a²≥4b”包含：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
∴事件“a²≥4b”的概率為p=

12

25

；
（2）f（1）=-1+a-b＞0，∴a-b＞1
則a，b都是從區(qū)間[0，4]任取的一個數(shù)，有f（1）＞0，
即滿足條件：

0≤a≤4 0≤b≤4 a-b＞1

轉(zhuǎn)化為幾何概率如圖所示，
∴事件“f（1）＞0”的概率為

1 2 ×3×3

4×4

=

9

32

；
（3）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
如圖，所求的概率

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

．

點評：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．