【題目】已知函數,.
(I)求證:在區(qū)間上單調遞增;
(II)若,函數在區(qū)間上的最大值為,求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值,請說明理由(參考數據:)
【答案】(I)證明見解析;(II)有最小值,沒有最大值.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求出的導數,設,求出的導數,運用單調性即可得證;(Ⅱ)求出的導數,求得單調區(qū)間,極值和當時,時的最大值,結合零點存在定理,以及函數的單調性即可判斷有最小值,沒有最大值.
試題解析:(I)證明:∵,
∴,
設,則,
∴當時,,∴在區(qū)間上單調遞增.
∵,
∴當時,.
∴在區(qū)間上單調遞增.
(II)∵,
∴的定義域是,且,即.
∵,∴,
當變化時,、變化情況如下表:
∴當時,,在區(qū)間上的最大值是.
當時,在區(qū)間上的最大值為.
即.
(1)當時,.
由(I)知,在上單調遞增.
又,,
∴存在唯一,使得,且當時,,單調遞減,當時,,單調遞增.
∴當時,有最小值.
(2)當時,,
∴在單調遞增.
又,
∴當時,.
∴在上單調遞增.
綜合(1)(2)及試題分析式可知,有最小值,沒有最大值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】隨機詢問某大學40名不同性別的大學生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明,得到如下列聯表:
性別與讀營養(yǎng)說明列聯表:
男 | 女 | 總計 | |
讀營養(yǎng)說明 | 16 | 8 | 24 |
不讀營養(yǎng)說明 | 4 | 12 | 16 |
總計 | 20 | 20 | 40 |
(Ⅰ)根據以上列聯表進行獨立性檢驗,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關系?
(Ⅱ)從被詢問的16名不讀營養(yǎng)說明的大學生中,隨機抽取2名學生,求抽到男生人數的分布列及其均值(即數學期望).
(注:,其中為樣本容量.)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】2009年推出一種新型家用轎車,購買時費用為萬元,每年應交付保險費、養(yǎng)路費及汽油費共萬元,汽車的維修費為:第一年無維修費用,第二年為萬元,從第三年起,每年的維修費均比上一年增加萬元.(1)設該輛轎車使用年的總費用(包括購買費用、保險費、養(yǎng)路費、汽油費及維修費)為,求的表達式;(2)這種汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年,年平均費用最少)?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱(側棱垂直于底面,且底面是正三角形)中,是棱上一點.
(1)若分別是的中點,求證:平面;
(2)若是上靠近點的一個三等分點,求二面角的余弦值.
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