Question

如圖所示的幾何體中，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（I）若點(diǎn)G在AB上，試確定G點(diǎn)位置，使FG∥平面ADE，并加以證明；
（II）求三棱錐D-ABF的體積．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，GF∥平面ADE．G是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)⇒GF∥AE⇒FG∥平面ADE；
（II）由（I）知，CG⊥AB，CG∥DF，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定得DF⊥平面ABF，即DF是三棱錐D-ABF的高，利用錐體的體積公式即可得到三棱錐D-ABF的體積．

解答：解：（I）當(dāng)G是AB的中點(diǎn)時(shí)，GF∥平面ADE．
證明：因?yàn)镚是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
所以GF∥AE．
又GF?平面ADE．AE⊆平面ADE．
∴GF∥平面ADE．
（II）由（I）知，CG⊥AB，CG∥DF，
∴DF⊥AB，又DF⊥AE，AB∩AE=E，∴DF⊥平面ABF，即DF是三棱錐D-ABF的高，
∴三棱錐D-ABF的體積V=

1

3

×S_△ABF×DF=

1

3

×

1

2

×2×1×

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)面平行的證明以及棱錐的體積的求法．在證明線(xiàn)面平行時(shí)，一般先證線(xiàn)線(xiàn)平行或面面平行．