Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明：恒成立.

Answer 1

【答案】（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）見解析

【解析】

（1）求出（），通過當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

證法二：記函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，，問題得證.

（Ⅰ） （），

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，得到，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）證法一：由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，，

特別地，取，有，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），

因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可，

設(shè)（），則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立.

因此，有，又因?yàn)閮蓚�(gè)等號不能同時(shí)成立，所以有恒成立.

證法二：記函數(shù)，

則，可知在上單調(diào)遞增，又由知， 在上有唯一實(shí)根，且，則，即（*），

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

所以，結(jié)合（*）式，知，

所以，

則，即，所以有恒成立.