如圖，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE∥PA，BE=
1
2
PA，F(xiàn)為PA的中點．
（I）求證：DF∥平面PEC
（II）若PE=
2
，求平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．
（Ⅰ）證明：理解EF，∵BE∥PA，BE=
1
2
PA=AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∴EF
∥
.
BA，
∵矩形ABCD，∴BA
∥
.
CD．
∴EF
∥
.
CD．
∴四邊形EFDC是平行四邊形．
∴DF∥CE．
∵DF?平面PEC，EC?平面PEC．
∴DF∥平面PEC．
（Ⅱ）∵AP⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，
以點A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
在Rt△PEF中，PE=
2
，EF=AB=1，∴PF=1．
可得P（0，0，2），E（1，0，1），C（1，2，0），
∴
PE
=(1，0，-1)，
PC
=(1，2，-2)．
設(shè)平面PEC的法向量為
n
=(x，y，z)．
則
n
•
PE
=0
n
•
PC
=0
，得
x-z=0
x+2y-2z=0
，
令x=2，則z=2，y=1，∴
n
=(2，1，2)．
∵AB⊥平面PAD，∴可取
AB
=(1，0，0)作為平面PAD的法向量．
∴cos＜
AB
，
n
＞=
AB
•
n
|
AB
||
n
|
=
2
22+1+22
=
2
3
．
故平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值為
2
3
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

點P在平面ABC的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是△ABC的(    )
A．內(nèi)心B．外心
C．垂心D．重心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

底面ABCD為矩形的四棱錐P-ABCD中，AB=
3
，BC=1，PA=2，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E為PD的中點
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當(dāng)△AEF的面積最大時，tanθ的值為（　�。�
A．2B．
1
2
C．
2
D．
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B1C；
（Ⅱ）若D是AB中點，求證：AC1∥平面B1CD；
（Ⅲ）當(dāng)
BD
AB
=
1
3
時，求二面角B-CD-B1的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是梯形，AD∥BC且∠ADC=60°，BC=2AD=4．
（1）求證：DC⊥PA；
（2）在PB上是否存在一點M（不包含端點P，B）使得二面角C-AM-B為直二面角，若存在求出PM的長，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．則A1B與平面ABD所成角的余弦值（　�。�
A．
1
2
B．
3
2
C．
7
3
D．
6
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

++=     .

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同步練習(xí)冊答案