如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點.
(Ⅰ)證明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.
解法一:(Ⅰ)連接AC,由AB=4,BC=3,∠ABC=90°,得AC=5,
又AD=5,E是CD得中點,
所以CD⊥AE,
PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD.
所以PA⊥CD,
而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,
所以CD⊥平面PAE.
(Ⅱ)過點B作BGCD,分別與AE,AD相交于點F,G,連接PF,
由CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE,于是∠BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知,∠PBA即為直線PB與平面ABCD所成的角.
由題意∠PBA=∠BPF,因為sin∠PBA=
PA
PB
,sin∠BPF=
BF
PB
,所以PA=BF.
由∠DAB=∠ABC=90°知,ADBC,又BGCD.
所以四邊形BCDG是平行四邊形,
故GD=BC=3,于是AG=2.
在RT△BAG中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,
所以BG=
AB2+AG2
=2
5
,BF=
AB2
BG
=
16
2
5
=
8
5
5

于是PA=BF=
8
5
5

又梯形ABCD的面積為S=
1
2
×(5+3)×4=16.
所以四棱錐P-ABCD的體積為V=
1
3
×S×PA=
1
3
×16×
8
5
5
=
128
5
15

解法二:以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AP所在直線分別為X軸,Y軸,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
(Ⅰ)
CD
=(-4,2,0),
AE
=(2,4,0),
AP
=(0,0,h).
因為
CD
AE
=-8+8+0=0,
CD
AP
=0.
所以CD⊥AE,CD⊥AP,而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,
所以CD⊥平面PAE.
(Ⅱ)由題設(shè)和第一問知,
CD
,
PA
分別是平面PAE,平面ABCD的法向量,
而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,
所以:|cos<
CD
,
PB
>|=|cos<
PA
,
PB
>|,即|
CD
PB
|
CD
|•|
PB
|
|=|
PA
PB
|
PA
|•|
PB
|
|.
由第一問知
CD
=(-4,2,0),
PA
=((0,0,-h),又
PB
=(4,0,-h).
故|
-16+0+0
2
5
16+h2
|=|
0+0+h2
h•
16+h2
|.
解得h=
8
5
5

又梯形ABCD的面積為S=
1
2
×(5+3)×4=16.
所以四棱錐P-ABCD的體積為V=
1
3
×S×PA=
1
3
×16×
8
5
5
=
128
5
15

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點P為矩形ABCD所在平面外一點,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別為線段PB,PC的中點,且AD=4,PA=AB=2
(1)求直線EC和面PAD所成的角
(2)求點P到平面AFD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,
CE
=2
EC1

(1)求點D1到平面BDE的距離;
(2)求直線A1B與平面BDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,矩形ABCD中,BC=2,AB=1,PA丄平面ABCD,BEPA,BE=
1
2
PA
,F(xiàn)為PA的中點.
(I)求證:DF平面PEC
(II)若PE=
2
,求平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為線段CD中點.
(1)求直線B1E與直線AD1所成的角的余弦值;
(2)若AB=2,求二面角A-B1E-
A_
1
的大小;
(3)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,四棱錐P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點.
(1)求證:BM平面PAD;
(2)在側(cè)面PAD內(nèi)找一點N,使MN⊥平面PBD;
(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中點,則異面直線C1E與BC所成的角的余弦值是( 。
A.
10
5
B.
10
10
C.
1
3
D.
2
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知是直線y=kx+1(k為常數(shù))上兩個不同的點,則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是(   )
A.無論k,如何,總是無解B.無論k,如何,總有唯一解
C.存在k,,使之恰有兩解D.存在k,,使之有無窮多解

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?i>ABCD滿足條件        時,有A1CB1D1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).

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同步練習(xí)冊答案