【題目】如圖,點(diǎn)P(0,﹣1)是橢圓C1: + =1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2:x2+y2=4的直徑,l1 , l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A、B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積的最大值時(shí)直線l1的方程.
【答案】
(1)解:由題意可得b=1,2a=4,即a=2.
∴橢圓C1的方程為 ;
(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由題意可知:直線l1的斜率存在,設(shè)為k,則直線l1的方程為y=kx﹣1.
又圓 的圓心O(0,0)到直線l1的距離d= .
∴|AB|= = .
又l2⊥l1,故直線l2的方程為x+ky+k=0,聯(lián)立 ,消去y得到(4+k2)x2+8kx=0,解得 ,
∴|PD|= .
∴三角形ABD的面積S△= = ,
令4+k2=t>4,則k2=t﹣4,
f(t)= = = ,
∴S△= ,當(dāng)且僅 ,即 ,當(dāng) 時(shí)取等號(hào),
故所求直線l1的方程為 .
【解析】(1)由題意可得b=1,2a=4,即可得到橢圓的方程;(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),D(x0 , y0).由題意可知:直線l1的斜率存在,設(shè)為k,則直線l1的方程為y=kx﹣1.利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式即可得出圓心O到直線l1的距離和弦長(zhǎng)|AB|,又l2⊥l1 , 可得直線l2的方程為x+kx+k=0,與橢圓的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo),即可得出|PD|,即可得到三角形ABD的面積,利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值,即得到k的值.
【考點(diǎn)精析】掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本,需要知道橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直圖,如右圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以(單位:t,100≤≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量,T(單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).
(Ⅰ)將T表示為的函數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,兩座建筑物的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是9和15,從建筑物的頂部看建筑物的視角.
(1)求的長(zhǎng)度;
(2)在線段上取一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合),從點(diǎn)看這兩座建筑物的視角分別為問點(diǎn)在何處時(shí),最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市對(duì)所有高校學(xué)生進(jìn)行普通話水平測(cè)試,發(fā)現(xiàn)成績(jī)服從正態(tài)分布N(μ,σ2),下表用莖葉圖列舉出來抽樣出的10名學(xué)生的成績(jī).
(1)計(jì)算這10名學(xué)生的成績(jī)的均值和方差;
(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù):P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.
由(1)估計(jì)從全市隨機(jī)抽取一名學(xué)生的成績(jī)?cè)冢?/span>76,97)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),圓:,過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
求M的軌跡方程;
當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求的方程及的面積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)同時(shí)滿足:
①對(duì)于定義域上的任意x恒有f(x)+f(﹣x)=0,
②對(duì)于定義域上的任意x1,x2,當(dāng)x1≠x2時(shí),恒有0,則稱函數(shù)f(x)為“理想函數(shù)”.
給出下列四個(gè)函數(shù)中①f(x); ②f(x); ③f(x);④f(x),
能被稱為“理想函數(shù)”的有_______________(填相應(yīng)的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且當(dāng)x>0,f(x)<0.
給出下列四個(gè)結(jié)論:
①f(0)=0;②f(x)為偶函數(shù);
③f(x)為R上減函數(shù);④f(x)為R上增函數(shù).
其中正確的結(jié)論是( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)為研究函數(shù)的性質(zhì),構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD和BEFC,點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè),則.請(qǐng)你參考這些信息,推知函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是______;函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______.
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