Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4在x=2處取得極值，若m，n∈[-1，1]，則f（m）+f′（n）的最小值是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)為0，列出方程求出a值；求出二次函數(shù)f′（n）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求出f（m）的最小值，它們的和即為f（m）+f′（n）的最小值．

解答： 解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=-3x²+2ax
∵函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4在x=2處取得極值，
∴-12+4a=0，解得a=3
∴f′（x）=-3x²+6x
∴n∈[-1，1]時(shí)，f′（n）=-3n²+6n，當(dāng)n=-1時(shí)，f′（n）最小，最小為-9
當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，f（m）=-m³+3m²-4
f′（m）=-3m²+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2
所以m=0時(shí)，f（m）最小為-4
故f（m）+f′（n）的最小值為-9+（-4）=-13．
故答案為：-13．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，要注意極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，但是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根不一定是極值點(diǎn)．