Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-ln（x+1）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，若?x∈[0，+∞），f（x）≤（k+1）x²恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；
（3）證明：

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）＜2（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|-ln（x+1）（x＞-1），分x∈（-1，0]，x∈（0，+∞）兩種情況討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可的單調(diào)區(qū)間；
（2）?x∈[0，+∞），f（x）≤（k+1）x²恒成立，可化為kx²-x+ln（x+1）≥0恒成立，令g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥0，則只需g（x）_min≥0，當(dāng)k≤0時(shí)易判斷不合題意；當(dāng)k＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷單調(diào)性、最值情況，進(jìn)而可得結(jié)論；
（3）在（2）中取k=

1

2

，得x-ln(x+1)≤

x2

2

，令h（x）=x-ln（x+1），易驗(yàn)證n=1時(shí)不等式成立；當(dāng)n≥2時(shí)，化簡(jiǎn)可得

n

i=1

h（

2

2i-1

）=

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）．再由h（

2

2i-1

）≤

2

(2i-1)2

＜

2

(2i-3)(2i-1)

（i∈N^*，i≥2），及裂項(xiàng)求和可得結(jié)論；

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|-ln（x+1）（x＞-1），
當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，f（x）=-x²-ln（x+1），
f′(x)=-2x-

1

x+1

=-

2x2+2x+1

x+1

＜0，
∴f（x）在x∈（-1，0]上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1），
f′(x)=2x-

1

x+1

=

2x2+2x-1

x+1

，令f'（x）＞0得x＞

3 -1

2

，
∴f（x）在(0，

3 -1

2

)上單調(diào)遞減，在(

3 -1

2

，+∞)上單調(diào)遞增；
綜上得，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0]，（0，

3 -1

2

），單調(diào)遞增區(qū)間是(

3 -1

2

，+∞)．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x|x+1|-ln（x+1）=x²+x-ln（x+1），
∴?x∈[0，+∞）時(shí)，x²+x-ln（x+1）≤（k+1）x²，即kx²-x+ln（x+1）≥0，
設(shè)g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥0，
當(dāng)k≤0時(shí)，g（1）≤-1+ln2＜0不合題意．
當(dāng)k＞0時(shí)，g′(x)=2kx-1+

1

x+1

=

2kx[x+(1- 1 2k )]

x+1

，
令g'（x）=0，得x1=0，x2=

1

2k

-1＞-1，
①當(dāng)k≥

1

2

時(shí)，x2=

1

2k

-1≤0，g′(x)＞0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（0）=0，故k≥

1

2

符合題意．
②當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)，x2=

1

2k

-1＞0，對(duì)x∈(0，

1

2k

-1)，g'（x）＜0，g（x）＜g（0）=0，
故0＜k＜

1

2

不合題意，綜上，k的最小值為

1

2

．
（3）在（2）中取k=

1

2

，得x-ln(x+1)≤

x2

2

，令h（x）=x-ln（x+1），
證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=2-ln3＜2=右邊，所以不等式成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，

n

i=1

h（

2

2i-1

）=

n

i=1

[

2

2i-1

-ln（1+

2

2i-1

）]
=

n

i=1

2

2i-1

-

n

i=1

[ln（2i+1）-ln（2i-1）]
=

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）．
從而h（

2

2i-1

）≤

2

(2i-1)2

＜

2

(2i-3)(2i-1)

（i∈N^*，i≥2），
所以有

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）=

n

i=1

h（

2

2i-1

）=f（2）+

n

i=2

h(

2

2i-1

)＜2-ln3+

n

i=2

2

(2i-3)(2i-1)

=2-ln3+

n

i=2

(

1

2i-3

-

1

2i-1

)=2-ln3+1-

1

2n-1

＜2．
綜上，

n

i=1

2

2i-1

-ln（2n+1）＜2，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問(wèn)題及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，根據(jù)函數(shù)的最值、單調(diào)性構(gòu)造不等式是證明不等式的關(guān)鍵所在．