Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n，其中S_n為數(shù){a_n}的前n項(xiàng)和，則a_n=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用n=1求出a₁，利用a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²+2S_n-1，做差推出a_n-a_n-1=1證明是等差數(shù)列．

解答： 解：在已知式中，當(dāng)n=1時(shí)，a₁³=S₁²+2S₁，
∵a₁＞0，∴a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²+2S_n-1②
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²+2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1+2）
∵a_n＞0，∴a_n²=S_n+S_n-1+2=2S_n-a_n+2③
∵a₁=2適合上式，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1+2④
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得a_n=n+1．
故答案為：n+1．

點(diǎn)評(píng)：在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的知識(shí)，難度中等．