當兔子和狐貍處于同一棲息地時,忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡便起見,不妨做如下假設:
(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;
(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;
(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;
(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R0=100只,狐貍數(shù)量有F0=30只.
請用所學知識解決如下問題:
(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型;
(2)求出Rn、Fn關于n的關系式;
(3)討論當n越來越大時,兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài),說明你的理由.
分析:(1)根據(jù)兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍,可得
Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1
Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1
(n≥1)

(2)利用矩陣,求出矩陣的特征多項式,從而可求矩陣的特征值、特征向量,由此可求Rn、Fn關于n的關系式;
(3)當n越來越大時,0.95n越來越接近于0,Rn,F(xiàn)n分別趨向于常量210,140.由此可知,時間充分長后,兔子與狐貍的數(shù)量達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài).
解答:解:(1)∵兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍
Rn=1.1Rn-1-0.15Fn-1
Fn=0.1Rn-1+0.85Fn-1
(n≥1)
…4’
(2)設
αn
=
Rn
Fn
M=
1.1
0.1
-0.15
0.85

αn
=M
αn-1
=M(M
αn-2
)
=…=Mn
α

又矩陣M的特征多項式f(λ)=
.
λ-1.1
-0.1
0.15
λ-0.85
.
2-1.95λ+0.95=(λ-1)(λ-0.95)
令f(λ)=0得:λ1=1,λ2=0.95
特征值λ1=1對應的一個特征向量為
α1
=
3
2

特征值λ2=0.95對應的一個特征向量為
α2
=
1
1
…6’
α0
=
100
30
=70
3
2
-110
1
1
=70
α1
-110
α2

αn
=Mnα0=70
λ
n
1
α1
-110
λ
n
2
α2
=70
3
2
-110•0.95n
1
1
=
210-110•0.95n
140-110•0.95n

Rn=210-110•0.95n
Fn=140-110•0.95n
…14’
(3)當n越來越大時,0.95n越來越接近于0,Rn,F(xiàn)n分別趨向于常量210,140.即隨著時間的增加,兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加,當時間充分長后,兔子與狐貍的數(shù)量達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài).…2’
點評:本題以實際問題為載體,考查矩陣的運用,考查特征值與特征向量,考查利用數(shù)學知識解決實際問題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源:江蘇常州一中2007-2008學年度高三第一學期第一階段考試試題數(shù)學 題型:044

當兔子和狐貍處于同一棲息地時,忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡便起見,不妨做如下假設:(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R0=100只,狐貍數(shù)量有F0=30只.請用所學知識解決如下問題:

(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型(Rn、Fn的關系式);

(2)求出Rn、Fn關于n的關系式;

(3)討論當n越來越大時,兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài),說明你的理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

當兔子和狐貍處于同一棲息地時,忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡便起見,不妨做如下假設:
(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;
(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;
(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;
(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R0=100只,狐貍數(shù)量有F0=30只.
請用所學知識解決如下問題:
(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型;
(2)求出Rn、Fn關于n的關系式;
(3)討論當n越來越大時,兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài),說明你的理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

當兔子和狐貍處于同一棲息地時,忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡便起見,不妨做如下假設:(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;(3)第n年時,兔子數(shù)量用表示,狐貍數(shù)量用表示;(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有只,狐貍數(shù)量有只。請用所學知識解決如下問題:

(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型(、的關系式);

(2)求出關于n的關系式;

(3)討論當n越來越大時,兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài),說明你的理由。

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科目:高中數(shù)學 來源:2006-2007學年江蘇省無錫市高二(下)期末數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

當兔子和狐貍處于同一棲息地時,忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡便起見,不妨做如下假設:
(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;
(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;
(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;
(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R=100只,狐貍數(shù)量有F=30只.
請用所學知識解決如下問題:
(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型;
(2)求出Rn、Fn關于n的關系式;
(3)討論當n越來越大時,兔子與狐貍的數(shù)量是否能達到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài),說明你的理由.

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