當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時,忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡便起見,不妨做如下假設(shè):
(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;
(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;
(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;
(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R=100只,狐貍數(shù)量有F=30只.
請用所學(xué)知識解決如下問題:
(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型;
(2)求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式;
(3)討論當(dāng)n越來越大時,兔子與狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài),說明你的理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍,可得
(2)利用矩陣,求出矩陣的特征多項(xiàng)式,從而可求矩陣的特征值、特征向量,由此可求Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式;
(3)當(dāng)n越來越大時,0.95n越來越接近于0,Rn,F(xiàn)n分別趨向于常量210,140.由此可知,時間充分長后,兔子與狐貍的數(shù)量達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài).
解答:解:(1)∵兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍
…4’
(2)設(shè),
=…=
又矩陣M的特征多項(xiàng)式2-1.95λ+0.95=(λ-1)(λ-0.95)
令f(λ)=0得:λ1=1,λ2=0.95
特征值λ1=1對應(yīng)的一個特征向量為
特征值λ2=0.95對應(yīng)的一個特征向量為…6’

=
…14’
(3)當(dāng)n越來越大時,0.95n越來越接近于0,Rn,F(xiàn)n分別趨向于常量210,140.即隨著時間的增加,兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加,當(dāng)時間充分長后,兔子與狐貍的數(shù)量達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài).…2’
點(diǎn)評:本題以實(shí)際問題為載體,考查矩陣的運(yùn)用,考查特征值與特征向量,考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題.
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(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;
(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;
(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;
(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R0=100只,狐貍數(shù)量有F0=30只.
請用所學(xué)知識解決如下問題:
(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型;
(2)求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式;
(3)討論當(dāng)n越來越大時,兔子與狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài),說明你的理由.

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當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時,忽略其他因素,只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響,為了簡便起見,不妨做如下假設(shè):(1)由于自然繁殖,兔子數(shù)每年增長10%,狐貍數(shù)每年減少15%;(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R0=100只,狐貍數(shù)量有F0=30只.請用所學(xué)知識解決如下問題:

(1)列出兔子與狐貍的生態(tài)模型(Rn、Fn的關(guān)系式);

(2)求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式;

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(2)由于狐貍吃兔子,兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的0.15倍,狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0.1倍;
(3)第n年時,兔子數(shù)量Rn用表示,狐貍數(shù)量用Fn表示;
(4)初始時刻(即第0年),兔子數(shù)量有R0=100只,狐貍數(shù)量有F0=30只.
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