【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣1(a為常數(shù)),曲線y=f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為﹣1.
(1)求a的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x1<ln2,x2>ln2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2<2ln2.
【答案】
(1)解:由f(x)=ex﹣ax﹣1,得f′(x)=ex﹣a.
又f′(0)=1﹣a=﹣1,
∴a=2.
∴f(x)=ex﹣2x﹣1,f′(x)=ex﹣2.
由f'(x)=ex﹣2>0,得x>ln2.
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,
(2)解:證明:設(shè)x>ln2,
∴2ln2﹣x<ln2,
∴f(2ln2﹣x)=e2ln2﹣x﹣2(2ln2﹣x)﹣1= +2x﹣2ln2﹣1,
令g(x)=f(x)﹣f(2ln2﹣x)= ﹣4x+4ln2,(x>ln2),
∴g′(x)=ex+4e﹣x﹣4≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=ln2時(shí),等號(hào)成立,
∴g(x)在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,
又g(ln2)=0,
∴當(dāng)x>ln2時(shí),g(x)=f(x)﹣f(2ln2﹣x)>g(ln2)=0,
即f(x)>f(2ln2﹣x),
∴f(x2)>f(2ln2﹣x2),
又f(x1)=f(x2),
∴f(x1)>f(2ln2﹣x2),
由于x2>ln2,
∴2ln2﹣x2<ln2,
∵x1<ln2,
由(Ⅰ)函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,
∴x1<2ln2﹣x2,
即x1+x2<2ln2
【解析】(1)求出函數(shù)的f′(x)=ex﹣a.通過(guò)f′(x)=ex﹣2>0,即可求解函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增.(2)設(shè)x>ln2,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)﹣f(2ln2﹣x),分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,以及x1<ln2,x2>ln2,且f(x1)=f(x2)即可證明.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|.
(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;
(2)若存在實(shí)數(shù)a,使得不等式f(x)≥1﹣a+2|2+x|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是( )
①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件
②命題“x∈R,sinx≤1”的否定是“x∈R,sinx>1”
③“若am2<bm2 , 則a<b”的逆命題為真命題
④命題p;x∈[1,+∞),lgx≥0,命題q:x∈R,x2+x+1<0,則p∨q為真命題.
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(﹣1,0)、F2(1,0),過(guò)點(diǎn)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線l交橢圓C于B、D兩點(diǎn),且|BD|=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)定點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)M,N,試判斷:在x軸上是否存在點(diǎn)A(m,0),使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在處的切線方程;
(2)若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)于任意的 ,均有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上, 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn), ,拋物線過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ)求、的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)請(qǐng)問是否存在直線滿足條件:
①過(guò)的焦點(diǎn);②與交不同兩點(diǎn)、且滿足.
若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī),整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段進(jìn)行分組,假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,則得到體育成績(jī)的折線圖(如下):
(Ⅰ)體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生,試估計(jì)高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況,現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)?/span>和的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求在抽取的2名學(xué)生中,至少有1人體育成績(jī)?cè)?/span>的概率;
(Ⅲ)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為且分別在三組中,其中當(dāng)數(shù)據(jù)的方差最小時(shí),寫出的值.(結(jié)論不要求證明)
(注: ,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn) 在橢圓 上,過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若MN是過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的動(dòng)弦(非長(zhǎng)軸),點(diǎn)T為橢圓C的左頂點(diǎn),記直線TM,TN的斜率分別為k1 , k2 . 問k1k2是否為定值?若為定值,請(qǐng)求出定值;若不為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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