【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在處的切線方程;
(2)若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求證:對于任意的 ,均有.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)求出,由的值可得切點(diǎn)坐標(biāo),由的值,可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)函數(shù)在[]上單調(diào)遞增 在[]上恒有.即()恒成立,令(),只需求出的最小值即可得結(jié)果;(3)先證明當(dāng) []時(shí), , 遞增,有成立,再討論兩種情況若,不等式恒成立,只需分兩種情況證明(]時(shí)也恒成立即可.
試題解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù),則.
又因?yàn)?/span>,.
所以曲線在()處的切線方程為: .
(2)因?yàn)?/span>,所以()
函數(shù)在[]上單調(diào)遞增 在[]上恒有.即()恒成立.令(),則
.又因?yàn)?/span>在[]上單調(diào)遞增,所以,
所以.
(3)證明: 因?yàn)?/span>,所以().
令(),則.
①當(dāng) []時(shí), , 遞增,有,
因?yàn)?/span>,此時(shí), , 遞增,
有成立.
②當(dāng)(]時(shí), , 遞減,有,
若,此時(shí), 遞增, 顯然成立.
若(],此時(shí)記,則在(]上遞增,
在(]上遞減.此時(shí)有,
,
構(gòu)造,則,
令,求得.故在(]上遞減,
在()上遞增,所以,
所以,此時(shí)滿足,
綜上所述,當(dāng)時(shí),對于任意的 [],均有.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍,屬于中檔題. 利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法:① 視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; ② 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范圍,本題(2)是利用方法 ②求解的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)某氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動,其移動速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示.過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即時(shí)間t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).
(1)當(dāng)t=4時(shí),求s的值;
(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;
(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到N城,如果會,在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知直線l:x+y+a=0與點(diǎn)A(0,2),若直線l上存在點(diǎn)M滿足|MA|2+|MO|2=10(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣ ﹣1, ﹣1)
B.[﹣ ﹣1, ﹣1]
C.(﹣2 ﹣1,2 ﹣1)
D.[﹣2 ﹣1,2 ﹣1]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.如圖,已知,圖中的一系列圓是圓心分別為A、B的兩組同心圓,每組同心圓的半徑分別是1,2,3,…,n,….利用這兩組同心圓可以畫出以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線. 若其中經(jīng)過點(diǎn)M、N、P的雙曲線的離心率分別是.則它們的大小關(guān)系是 (用“”連接).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣1(a為常數(shù)),曲線y=f(x)在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為﹣1.
(1)求a的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x1<ln2,x2>ln2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2<2ln2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心C( , ),半徑r= .
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)若α∈[0, ),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),直線l交圓C于A、B兩點(diǎn),求弦長|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若集合A={x|x2<2x},集合B={x|x< },則A∩(RB)等于( )
A.(﹣2, ]
B.(2,+∞)
C.(﹣∞, ]
D.D[ ,2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其左頂點(diǎn)在圓上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn)的點(diǎn),直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.是否存在點(diǎn),使得? 若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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