Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（），設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）求、、的值；

（2）利用“歸納—猜想—證明”求出的通項(xiàng)公式；

（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）（）；（3）.

【解析】

（1）先代，求得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，化簡(jiǎn)得到與的遞推式，

再代，求得，并為求第（2）問(wèn)提供基礎(chǔ);

（2）由（1）歸納猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（3）由（2）求得的，求出，并化簡(jiǎn)，分析，發(fā)現(xiàn)可用裂項(xiàng)相消法求解，

考慮消去方便，可對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分析，最后合并得到答案.

解：（1）由，令，則，得，

當(dāng)時(shí)，由，得，得，

令，得，令，得，即，，.

（2）由（1）知，，，猜想，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：① 當(dāng) 時(shí)，由猜想知顯然成立；

②假設(shè)猜想成立，即，

則當(dāng)時(shí)，由（1）有，

即當(dāng)時(shí)，猜想也成立.

綜合①②可知，猜想成立，即

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，

綜合知：，又，

則

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

綜上可得