Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．點(diǎn)P（a，b）滿足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF₂與圓（x+1）²+(y-

3

)2=16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=

5

8

|AB|，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用|PF₂|=|F₁F₂|，對(duì)應(yīng)的方程整理后即可求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）先把直線PF₂與橢圓方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的|AB|兩點(diǎn)，進(jìn)而求出|MN|，再利用弦心距，弦長(zhǎng)以及圓心到直線的距離之間的等量關(guān)系，即可求橢圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）    （c＞0）．
由題得|PF₂|=|F₁F₂|，即

(a-c)2+b2

=2c，整理得2(

c

a

)2+

c

a

-1=0，得

c

a

=-1（舍），或

c

a

=

1

2

，
所以e=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=

3

c，可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，直線方程PF₂為y=

3

（x-c）．
A，B的坐標(biāo)滿足方程組

3x2+4y2=12c2 y= 3 (x-c)

，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=

8

5

c，得方程組的解為

x=0 y=- 3

c，

x= 8 5 c y= 3 3 5 c

，
不妨設(shè)A（

8

5

c，

3 3

5

c），B（0，-

3

c）．
所以|AB|=

( 8 5 )2+( 3 3 c 5 + 3 c) 2

=

16

5

c，于是|MN|=

5

8

|AB|=2c．
圓心（-1，

3

）到直線PF₂的距離d=

|- 3 - 3 - 3 c|

2

，
因?yàn)閐²+(

|MN|

2

)2=4²，所以

3

4

（2+c）²+c²=16，整理得c=-

26

7

（舍）或c=2．
所以橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．