設P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a>1)
短軸的一個端點,Q為橢圓上一個動點,求|PQ|的最大值.
分析:依題意可知|PQ|=
x2+(y-1)2
,因為Q在橢圓上,所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
1
1-a2
2-
1
1-a2
+1+a2.由此分類討論進行求解.
解答:解:由已知得到P(0,1)或P(0,-1)
由于對稱性,不妨取P(0,1)
設Q(x,y)是橢圓上的任一點,
則|PQ|=
x2+(y-1)2
,①
又因為Q在橢圓上,
所以,x2=a2(1-y2),
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
1
1-a2
2-
1
1-a2
+1+a2.②
因為|y|≤1,a>1,若a≥
2
,則|
1
1-a2
|≤1,
所以如果它包括對稱軸的x的取值,那么就是頂點上取得最大值,
即當-1≤
1
1-a2
≤1時,
在y=
1
1-a2
時,|PQ|取最大值
a2
a2-1
a2-1
;
如果對稱軸不在y的取值范圍內的話,那么根據(jù)圖象給出的單調性來求解.
即當
1
1-a2
<-1時,則當y=-1時,|PQ|取最大值2.
點評:本題考查橢圓的基本性質及其應用,解題時要認真審題,細心計算.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的兩焦點F1、F2和短軸的兩端點B1、B2正好是一正方形的四個頂點,且焦點到橢圓上一點的最近距離為
2
-1

(1)求橢圓的標準方程;
(2)設P是橢圓上任一點,MN是圓C:x2+(y-2)2=1的任一條直徑,求
PM
PN
的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點,直線l為左準線,直線l與x軸交于P點,MN為橢圓的長軸,已知
PM
=2
MF
,且|
MN
|=8

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點P作直線與橢圓交于A、B兩點,求△ABF面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上的點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其焦點,若|PO|是|PF1|、|PF2|的等差中項,則P點的個數(shù)是 (  )

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設P是橢圓
x2
a2
+y2=1   (a>1)
短軸的一個端點,Q為橢圓上一個動點,求|PQ|的最大值.

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