設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,A是橢圓上的一點,C,原點O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|

(Ⅰ)證明a=
2
b
;
(Ⅱ)求t∈(0,b)使得下述命題成立:設(shè)圓x2+y2=t2上任意點M(x0,y0)處的切線交橢圓于Q1,Q2兩點,則OQ1⊥OQ2
分析:證法一:設(shè)點A(c,y),y>0,由題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出A(c,
b2
a
)
,直線AF2的方程為y=
b2
2ac
(x+c)
,再由原點O到直線AF1的距離得到
c
3
=
b2c
b4+4a2c2
,由此可得a=
2
b

證法二:由題設(shè)知A(c,
b2
a
)
,由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=2a,又|BO|=
1
3
|OF1|
,所以
1
3
=
|F2A|
|F1A|
=
|F2A|
2a-|F2A|
,解得|F2A|=
a
2
,而|F2A|=
b2
a
,由此能夠?qū)С?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a=
2
b.
(Ⅱ)圓x2+y2=t2上的任意點M(x0,y0)處的切線方程為x0x+y0y=t2.當(dāng)t∈(0,b)時,圓x2+y2=t2上的任意點都在橢圓內(nèi),故此圓在點A處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q1和Q2,因此點Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐標(biāo)是方程組
x0x+y0y=t2
x2+2y2=2b2
的解.當(dāng)y0≠0時,由①式得y=
t2-x0x
y0
代入②式,得x2+2(
t2-x0x
y0
)2=2b2
,然后結(jié)合題設(shè)條件利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.
解答:解:(Ⅰ)證法一:由題設(shè)AF2⊥F1F2及F1(-c,0),
F2(c,0),不妨設(shè)點A(c,y),
其中y>0,由于點A在橢圓上,
c2
a2
+
y2
b2
=1
,
a2-b2
a2
+
y2
b2
=1

解得y=
b2
a
,從而得到A(c,
b2
a
)
精英家教網(wǎng)
直線AF2的方程為y=
b2
2ac
(x+c)
,
整理得b2x-2acy+b2c=0.
由題設(shè),原點O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|
,
c
3
=
b2c
b4+4a2c2
,
將c2=a2-b2代入原式并化簡得a2=2b2,即a=
2
b


證法二:同證法一,得到點A的坐標(biāo)為(c,
b2
a
)
,
過點O作OB⊥AF1,垂足為H,易知△F1BC∽△F1F2A,
|BO|
|OF1|
=
|F2A|
|F1A|

由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=2a,又|BO|=
1
3
|OF1|

所以
1
3
=
|F2A|
|F1A|
=
|F2A|
2a-|F2A|
,
解得|F2A|=
a
2
,而|F2A|=
b2
a

b2
a
=
a
2
,即a=
2
b


(Ⅱ)圓x2+y2=t2上的任意點M(x0,y0
處的切線方程為x0x+y0y=t2
當(dāng)t∈(0,b)時,圓x2+y2=t2上的任意點都在橢圓內(nèi),
故此圓在點A處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q1和Q2,
因此點Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐標(biāo)是方程組
x0x+y0y=t2
x2+2y2=2b2
的解.
當(dāng)y0≠0時,由①式得y=
t2-x0x
y0

代入②式,得x2+2(
t2-x0x
y0
)2=2b2
,
即(2x02+y02)x2-4t2x0x+2t4-2b2y02=0,
于是x1+x2=
4t2x0
2
x
2
0
+
y
2
0
,
x1x2=
2t4-2b2
y
2
0
2
x
2
0
+
y
2
0
y1y2=
t2-x0x1
y0
t2-x1x2
y1

=
1
y
2
0
[t4-x0t2(x1+x2)+
x
2
0
x1x2]

=
1
y
2
0
(t4-x0t2
4t2x0
2
x
2
0
+
y
2
0
+
x
2
0
2t4-2b2
y
2
0
2
x
2
0
+
y
2
0
)

=
t4-2b2
x
2
0
2
x
2
0
+
y
2
0
.若OQ1⊥OQ2,
x1x2+y1y2=
2t4-2b2
y
2
0
2
x
2
0
+
y
2
0
+
t4-2b2
x
2
0
2
x
2
0
+
y
2
0
=
3t4-2b2(
x
2
0
+
y
2
0
)
2
x
2
0
+
y
2
0
=0

所以,3t4-2b2(x02+y02)=0.由x02+y02=t2,得3t4-2b2t2=0.
在區(qū)間(0,b)內(nèi)此方程的解為t=
6
3
b

當(dāng)y0=0時,必有x0≠0,同理求得在區(qū)間(0,b)內(nèi)的解為t=
6
3
b

另一方面,當(dāng)t=
6
3
b
時,可推出x1x2+y1y2=0,從而OQ1⊥OQ2
綜上所述,t=
6
3
b∈(0,b)
使得所述命題成立.
點評:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識,考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的動點Q,過動點Q作橢圓的切線l,過右焦點作l的垂線,垂足為P,則點P的軌跡方程為( 。
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a>1)
短軸的一個端點,Q為橢圓上一個動點,求|PQ|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•即墨市模擬)設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,右焦點為F(c,0),方程ax2+bx-c=0的兩個實根分別為x1和x2,則點P(x1,x2)( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)-1<a<-
1
2
,則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1
的離心率的取值范圍是(  )

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