Question

已知f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

．
（1）寫出f（x）的最小正周期T；
（2）求由y=f（x）（0≤x≤

5π

6

），y=0（0≤x≤

5π

6

），x=

5π

6

（-1≤y≤0）以及x=0（-

1

2

≤y≤0）圍成的平面圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，利用周期函數(shù)求得函數(shù)的最小正周期．
（2）利用（1）中f（x）的解析式，運(yùn)用定積分求得面積．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

sinxcosx-

2cos2x-1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）設(shè)由y=f（x）（0≤x≤

5π

6

），y=0（0≤x≤

5π

6

），x=

5π

6

（-1≤y≤0）以及x=0（-

1

2

≤y≤0）圍成的平面圖形的面積為S，
∵f（x）=sin（2x-

π

6

），
∴S=-

∫

π 12 0

sin（2x-

π

6

）dx+3

∫

π 3 π 12

sin（2x-

π

6

）dx，
∵[-

cos(2x- π 6 )

2

]′=sin（2x-

π

6

），
∴S=

cos(2× π 12 - π 6 )-cos(2×0- π 6 )

2

+3•[

cos(2× π 12 - π 6 )-cos(2× π 3 - π 6 )

2

]=2-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，定積分在求面積中的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)等知識(shí)．綜合考查了學(xué)生分析和推理的能力．