【題目】
如圖所示,正方形與矩形所在平面互相垂直,.
(1)若點,分別為,的中點,求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在一點,使二面角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
【答案】見解析
【解析】
(1)四邊形ADD1A1為正方形,連接AD1,設A1D∩AD1=F,則F是AD1的中點,
又點E為AB的中點,連接EF,則EF為△ABD1的中位線,所以EF∥BD1.
又BD1平面A1DE,EF平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE.(3分)
因為BH//DE,且DE平面A1DE,BH平面A1DE,所以BH∥平面A1DE,
又BD1BH=B,所以平面平面.(5分)
(2)根據(jù)題意,得DD1⊥DA,D1D⊥DC,AD⊥DC,則以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,如圖所示,
則D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0).(7分)
假設滿足條件的點E存在,且點E的縱坐標為,則E(1,,0)(0≤≤2),
=(-1,2-,0),=(0,2,-1),
設=(x1,y1,z1)是平面D1EC的法向量,則,即,
令=1,則平面D1EC的一個法向量為=(2-,1,2).(9分)
由題意,知平面DEC的一個法向量為=(0,0,1).(10分)
由二面角的大小為,得===,
解得=[0,2].
所以在線段上不存在一點,使二面角的大小為.(12分)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列幾個命題:
①函數(shù)y= + 是偶函數(shù),但不是奇函數(shù);
②方程x2+(a﹣3)x+a=0的有一個正實根,一個負實根,則a<0;
③f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2x2+x﹣1,則x≥0時,f(x)=﹣2x2+x+1
④函數(shù)y= 的值域是(﹣1, ).
其中正確命題的序號有 .
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C1: (t為參數(shù)),在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4.
(1)求出曲線C2的直角坐標方程;
(2)若C1與C2相交于A,B兩點,求線段AB的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】
已知橢圓的右焦點為,以橢圓與雙曲線兩條漸近線的四個交點為頂點的四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點為橢圓上的兩點(不同時在軸上),點,證明:存在實數(shù),當三點共線時,為常數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在[﹣1,1]的函數(shù)滿足f(﹣x)=﹣f(x),當a,b∈[﹣1,0)時,總有 >0(a≠b),若f(m+1)>f(2m),則實數(shù)m的取值范圍是 .
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【題目】如圖, 為正方形, 為直角梯形, ,平面平面,且.
(1)若和延長交于點,求證: 平面;
(2)若為邊上的動點,求直線與平面所成角正弦值的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知復數(shù)z1= +(a2﹣3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虛數(shù)單位).
(1)若復數(shù)z1﹣z2在復平面上對應點落在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若虛數(shù)z1是實系數(shù)一元二次方程x2﹣6x+m=0的根,求實數(shù)m值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax+b的值域為(﹣∞,0],若關(guān)x的不等式 的解集為(m﹣4,m+1),則實數(shù)c的值為 .
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