如圖所示，四面體ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B—AC—D的余弦值．
（1）構(gòu)造向量證明（2）

試題分析：（1）證明　作AH⊥平面BCD于H，連接BH、CH、DH，

易知四邊形BHCD是正方形，且AH＝1，以D為原
點(diǎn)，以DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，
以垂直于DB，的直線為z軸，建立空間直角坐
標(biāo)系，如圖所示，則B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(2,2,1)，   
所以＝，＝，  
因此·＝，所以AD⊥BC.       
（2）解：設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x，y，z)，則由n1⊥知：n1·＝
同理由n1⊥知：n1·＝，
可取n1＝，
同理，可求得平面ACD的一個(gè)法向量為       
∴〈n1，n2〉＝＝
即二面角B—AC—D的余弦值為   
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定方法，正確運(yùn)用向量法解決面面角問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知：是不同的直線，是不同的平面，給出下列五個(gè)命題：
①若垂直于內(nèi)的兩條直線，則；
②若，則平行于內(nèi)的所有直線；
③若且則；
④若且則；
⑤若且則.其中正確命題的序號(hào)是               

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在圖一所示的平面圖形中，是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，是分別以為底的全等的等腰三角形，現(xiàn)將該平面圖形分別沿折疊，使所在平面都與平面垂直，連接,得到圖二所示的幾何體，據(jù)此幾何體解決下面問(wèn)題.

（1）求證：;
（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；
（3）在（2）的前提下，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)求證：無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有；
(3)當(dāng)為何值時(shí),與平面所成角的大小為45°.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

下列關(guān)于直線l,m與平面α,β的說(shuō)法，正確的是  (    )
A．若lβ且α⊥β，則l⊥αB．若l⊥β且α∥β，則l⊥α
C．若l⊥β且α⊥β，則l∥αD．若αβ=m,且l∥m, 則l∥α

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知是兩兩不重合的三個(gè)平面，下列命題中錯(cuò)誤的是（    ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為的中點(diǎn)．

（1）求直線與平面所 成 角的大��；
（2）求二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且．設(shè)點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)，定義，其中分別為三棱錐、、的體積．若，且恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖,S是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且SD⊥面ABCD ,AB=1，SB=.

(1)求證：BCSC;
(2) 設(shè)M為棱SA中點(diǎn),求異面直線DM與SB所成角的大小
(3) 求面ASD與面BSC所成二面角的大小;

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同步練習(xí)冊(cè)答案