Question

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，其中為底面的中心，，分別為，的中點(diǎn)，平面與底面交于直線.

（1）求證：.

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)先利用面面平行的判定定理證明面面,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可證;

(2)根據(jù)以及體積公式可求得點(diǎn)到平面的距離.

（1）解：如圖所示，

連接、，

∵為正方形的中心，∴為中點(diǎn)，

又∵為的中點(diǎn)，∴為△的中位線，∴.

又∵面，面，∴面，

因?yàn)?/span>，且，∴為平行四邊形，

∴，且，

又∵，且，∴，且，

∴為平行四邊形，所以.

又∵面，面，∴面，

又∵面，且，∴面面，

又∵面面，面面，

∴.

（2）設(shè)點(diǎn)到面的距離為，連接、，

如圖所示:

∵正方體的棱長(zhǎng)為，且為中點(diǎn)，

∴，

同理可求，，

∴，

∴，

∵，且，∴，

又∵面，且，∴，

又∵，∴，

∴點(diǎn)到面的距離為.