Question

【題目】已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn ， {bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
（2）記Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn ， n∈N* ， 是否存在實數(shù)p，q，r，對于任意n∈N* ， 都有Tn=pan+qbn+r，若存在求出p，q，r的值，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，

由a4+b4=27，S4﹣b4=10得， ，

解得d=3，q=2，

所以an=3n﹣1，bn=2n

（2）解：假設(shè)存在實數(shù)p，q，r，對于任意n∈N*，都有Tn=pan+qbn+r，

由（1）得，Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn

= ①

∴2Tn= ②

由②﹣①得，

Tn=﹣2（3n﹣1）+3×（22+23+…+2n）+2n+2

=3× +2n+2﹣6n+2

=102n﹣6n﹣10

∴Tn=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=pan+qbn+r，

可得p=﹣2；q=10；r=﹣12，

即存在p=﹣2；q=10；r=﹣12滿足條件

【解析】（1）設(shè)出首項和公差，根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的前n項和公式，列出方程組求出首項和公差，即可求出an、bn；（2）假設(shè)存在實數(shù)p、q、r滿足條件，由（1）表示出Tn ， 利用錯位相減法求出Tn的表達(dá)式化簡后即可求出實數(shù)p、q、r的值．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等差數(shù)列的通項公式（及其變式）(通項公式：或)，還要掌握數(shù)列的前n項和(數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．