Question

【題目】如圖所示，等腰梯形ABCD的底角 A等于60°，直角梯形 ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AB=2AF．

（1）證明：平面ABE⊥平面EBD；
（2）若三棱錐 A﹣BDE的外接球的體積為 ，求三棱錐 A﹣BEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為平面ADEF⊥平面ABCD，

平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，ED平面ADEF，

∴ED⊥平面ABCD，

∵AB平面ABCD，∴AB⊥ED，

又∵AD=2，AB=1，A=60°，∴AB⊥BD．

又BD∩ED=D，BD，ED平面EBD，

∴AB⊥平面EBD，

又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面EBD．

（2）解：由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，所以三棱錐A﹣BDE的外接球的球心為線段AE的中點．

∴ ，解得 ，

∴ ．

【解析】（1）由平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：ED⊥平面ABCD，因此AB⊥ED，又AD=2，AB=1，A=60°，故AB⊥BD，即可證明AB⊥平面EBD，于是平面ABE⊥平面EBD，（2）由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，可得三棱錐A﹣BDE的外接球的球心為線段AE的中點，再利用球的體積計算公式與三棱錐的體積計算公式即可得出.
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．