Question

【題目】已知拋物線y2=2px（p＞0），F(xiàn)為其焦點，過點（4，0）作垂直于x軸的直線交拋物線于A，B兩點，△ABF的周長為18．
（1）求拋物線的方程；
（2）過拋物線上的定點 作兩條關(guān)于直線y=p對稱的直線分別交拋物線于C，D兩點，連接CD，判斷直線CD的斜率是否為定值？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：依據(jù)題意，A，B兩點的坐標為 ，

所以△ABF的周長為： ，

即 ，∴ ，

故拋物線方程為y2=4x．

（2）解：由（1）知M（1，2），由題意知MC，MD兩直線關(guān)于直線y=2對稱，則直線MC，MD的傾斜角互補，

顯然斜率均存在且不為0，設kMC=k，則kMD=﹣k，此時直線MC的方程為y﹣2=k（x﹣1）， 將其代入y2=4x，并整理得： ，

設C（x1，y1），D（x2，y2），則由韋達定理可得： ，

所以 ，同理，將上式中的k換成﹣k，得 ，

所以 ，

所以直線CD的斜率恒為﹣1．

【解析】1、根據(jù)題意求出A、B兩點的坐標再利用△ABF的周長得到關(guān)于p的方程即得結(jié)果。
2、 由題意可設直線MC的斜率為k，MD的斜率為-k，可求得直線MC、MD的方程再與拋物線的方程聯(lián)立求出交點坐標，進而可求得直線的斜率，從而可得到結(jié)論：直線CD的斜率恒為﹣1。