(12分)已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,點、分別是橢圓的左、右焦點,在橢圓的右準線上的點,滿足線段的中垂線過點.直線為動直線,且直線與橢圓交于不同的兩點、
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若在橢圓上存在點,滿足為坐標原點),
求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當取何值時,的面積最大,并求出這個最大值.
(Ⅰ)所求橢圓方程為
(Ⅱ)實數(shù)的取值范圍是
(Ⅲ)當時,的面積最大,最大值為
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為,半焦距為,依題意有
 解得    
所求橢圓方程為.             ……………………………3分
(Ⅱ)由,得
設(shè)點、的坐標分別為、,則……4分

(1)當時,點、關(guān)于原點對稱,則
(2)當,點不關(guān)于原點對稱,則
,得      即
在橢圓上,,
將①、②兩式,得
,,則
綜合(1)、(2)兩種情況,得實數(shù)的取值范圍是. ………………9分
【注】 此題可根據(jù)圖形得出當,當、兩點重合時
如果學(xué)生由此得出的取值范圍是可酌情給分.
(Ⅲ),點到直線的距離,
的面積
.          ………………………… 10分
由①有,代入上式并化簡,得
.                   ……………………… 11分
當且僅當,即時,等號成立.
時,的面積最大,最大值為. ……………………… 12分
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓,它的離心率為,與直線x+y-1=0相交于兩點M、N,且OM⊥ON.求橢圓的方程。

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(14分)若橢圓的離心率等于,拋物線的焦點在橢圓的頂點上。
(1)求拋物線的方程;
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若焦點在x軸上的橢圓的離心率為,則m="                                       " (       )
          B        C                D 

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橢圓的左右焦點分別為,弦,若的內(nèi)切圓周長為,兩點的坐標分別為,則值為()
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓的左焦點,右頂點A,上頂點B,且,則橢圓的離心率是
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

直線被橢圓所截得的弦的中點坐標是          (   )
A.(,)B.(,)C.(, )D. (, )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知正方形,則以為焦點,且過兩點的橢圓的離心率為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

橢圓的參數(shù)方程是 (為參數(shù)),則它的離心率為       

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