已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
an+3
 (n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{
1
an
+
1
2
}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(3n-1)
n
2n
an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若不等式(-1)nλ<Tn對(duì)一切n∈N*恒成立,求λ的取值范圍.
考點(diǎn):數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和
專題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)把題目給出的數(shù)列遞推式取倒數(shù),即可證明數(shù)列{
1
an
+
1
2
}是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得
1
an
+
1
2
,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an的通項(xiàng)可求;
(2)把數(shù)列{an}的通項(xiàng)an代入bn=(3n-1)
n
2n
an,由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,作差后得到Tn為遞增數(shù)列.然后對(duì)n分類求得滿足不等式(-1)nλ<Tn的實(shí)數(shù)λ的范圍,則答案可求.
解答: (1)證明:由an+1=
an
an+3
 (n∈N*),
1
an+1
=
an+3
an
=
3
an
+1

1
an+1
+
1
2
=3(
1
an
+
1
2
)

∴數(shù)列{
1
an
+
1
2
}是以3為公比以(
1
a1
+
1
2
)=
3
2
為首項(xiàng)的等比數(shù)列.
(2)解:由(1)知,bn=(3n-1)•
n
2n
2
3n-1
=n•(
1
2
)n-1
,
Tn=1×1+2×(
1
2
)1+3×(
1
2
)2+…
+n•(
1
2
)n-1
,
1
2
Tn=1×
1
2
+2×(
1
2
)2+…
+(n-1)(
1
2
)n-1+n(
1
2
)n

兩式相減得,
1
2
Tn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
-
n
2n
=2-
n+2
2n
,
Tn=4-
n+2
2n-1

Tn+1-Tn=(4-
n+3
2n
)-(4-
n+2
2n-1
)
=
n+1
2n
>0

∴Tn為遞增數(shù)列.
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),-λ<Tn對(duì)一切正奇數(shù)成立,
(Tn)min=T1=1=T1=1,∴-λ<1,∴λ>-1;
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),λ<Tn對(duì)一切正偶數(shù)成立,
(Tn)min=T2=2=T2=2,∴λ<2.
綜合①②知,-1<λ<2.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查了利用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法求解數(shù)列不等式,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{xn}對(duì)于任意m,r∈N+,有xm+r=xm+xr,又x2=-6,則x10=(  )
A、21B、-30
C、34D、-43

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a=2
3
,b=2
2
,B=
π
4
,則A等于( 。
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
3
3
D、
π
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
=(sinωx,cosωx),
b
=(
3
cosωx,cosωx).設(shè)f(x)=
a
b
+
3
2
且它的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)當(dāng)x∈(0,
π
2
)時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)向量
a
,
b
滿足|
a
|=|
b
|=1,|3
a
-
b
|=
5

(1)求|
a
+3
b
|的值;
(2)求3
a
-
b
a
+3
b
夾角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

向量
a
=(1,2),
b
=(x,1),
(1)當(dāng)
a
+2
b
與2
a
-
b
平行時(shí),求x;
(2)當(dāng)
a
+2
b
與2
a
-
b
垂直時(shí),求x.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AC=BC=2,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,D是CC1的中點(diǎn).
(1)求二面角D-AB-C的平面角的正切值;
(2)求A1B與平面BB1C1C所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2

(1)求f(
1
2
)和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值;
(2)數(shù)列{an}滿足:an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1),數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?請(qǐng)給予證明;
(3)在第(2)問的條件下,若數(shù)列{bn}滿足b1=-6,16an2-4(bn+1-bn-3)an+bn+1+2bn+2=0,試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

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