【題目】已知△ABC的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣1,0),B(1,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線段長相等),動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線M.
(I)求曲線M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點(diǎn)為D,當(dāng)點(diǎn)A在以線段CD為直徑的圓上時(shí),求直線BC的方程.

【答案】解:(I)由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,

所以曲線M是以A,B為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點(diǎn)),

所以a=2,c=1,

所以b= ,

所以曲線M: (y≠0)為所求.

(Ⅱ)注意到直線BC的斜率不為0,且過定點(diǎn)B(1,0),

設(shè)直線BC的方程為x=my+1,C(x1,y1),D(x2,y2),

與橢圓方程聯(lián)立,消x得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,

所以y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣

因?yàn)? =(my1+2,y1), =(my2+2,y2),

所以 =(my1+2)(my2+2)+y1y2=

注意到點(diǎn)A在以CD為直徑的圓上,所以 =0,即m=±

所以直線BC的方程 為所求


【解析】(I)由題意,可得曲線M是以A,B為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點(diǎn)),從而可得求曲線M的方程;(Ⅱ)設(shè)與直線BC的方程,與橢圓方程聯(lián)立,消x,利用韋達(dá)定理,結(jié)合 =0,即可求直線BC的方程.

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A.
B.
C.
D.

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B.﹣
C.﹣
D.

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