【題目】已知函數(shù).
(1)證明:當時,函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù);
(2)當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】 (1)見解析;(2) .
【解析】試題分析:
(1)由題意得,再令,利用導(dǎo)數(shù)可得在取得最小值,且,于是,從而得到在上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由題意分離參數(shù)可得當時,恒成立.令,利用導(dǎo)數(shù)可得到當時,取得最小值,且,從而可得,即為所求的范圍.
試題解析:
(1)∵,
∴,
令,
則,
則當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增.
∴函數(shù)在取得最小值,且最小值為,
∴在上恒成立,
∴在上是單調(diào)遞增函數(shù).
(2)由題意得當時,恒成立,
∴當時,恒成立.
令,
則,
令,
則.
∴時,單調(diào)遞增,
∴,即.
∴當時,,單調(diào)遞減;
當時,,單調(diào)遞增.
∴當時,取得最小值,且,
∴.
故實數(shù)的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出一個著名的猜想:任給一個正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半(即);如果是奇數(shù),則將它乘3加1(即),不斷重復(fù)這樣的運算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到1.對于科拉茨猜想,目前誰也不能證明,也不能否定.現(xiàn)在請你研究:如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則進行變換后的第9項為1(注:1可以多次出現(xiàn)),則的所有不同值的個數(shù)為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小張經(jīng)營某一消費品專賣店,已知該消費品的進價為每件40元,該店每月銷售量(百件)與銷售單價x(元/件)之間的關(guān)系用下圖的一折線表示,職工每人每月工資為1000元,該店還應(yīng)交付的其它費用為每月10000元.
(1)把y表示為x的函數(shù);
(2)當銷售價為每件50元時,該店正好收支平衡(即利潤為零),求該店的職工人數(shù);
(3)若該店只有20名職工,問銷售單價定為多少元時,該專賣店可獲得最大月利潤?(注:利潤=收入-支出)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓 ,點,以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,記點的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)直線交圓于,兩點,當為的中點時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果函數(shù)的定義域為R,且存在實常數(shù),使得對于定義域內(nèi)任意,都有成立,則稱此函數(shù)為“完美函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“完美函數(shù)”.若它是“完美函數(shù)”,求出所有的的取值的集合;若它不是,請說明理由.
(2)已知函數(shù)是“完美函數(shù)”,且是偶函數(shù).且當0時,.求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若的零點為2,求;
(2)若在上單調(diào)遞減,求的最小值;
(3)若對于任意的都有,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過圓 : 上的點 作 軸的垂線,垂足為 ,點 滿足 .當 在 上運動時,記點 的軌跡為 .
(1)求 的方程;
(2)過點 的直線 與交于 , 兩點,與圓 交于 , 兩點,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),其中為指數(shù)函數(shù),且的圖象過定點.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程,有解,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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