【題目】已知點(diǎn)與兩個定點(diǎn)距離的比是一個正數(shù).

1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;

2)當(dāng)時得曲線的方程,把曲線向左平移三個單位長度得到曲線,已知點(diǎn),,點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),的最小值;

3)若直線與曲線交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)x軸上的點(diǎn),使得恒為定值,求點(diǎn)P的坐標(biāo)和定值.

【答案】1)當(dāng)時,,此時軌跡為軸所在的直線;

當(dāng)時,可得:,此時軌跡為以為圓心,為半徑的圓;

2;3)點(diǎn)P的坐標(biāo),定值為.

【解析】

1)由題意得:, 對其化簡,分進(jìn)行討論可得答案;

2)代入可得曲線的方程,由題意可得曲線的方程,點(diǎn)的坐標(biāo)為,可得,由平面向量和三角函數(shù)知識,可得的最小值;

3)設(shè)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo),,即,,聯(lián)立直線與圓,表示,由恒為定值,可得的值,可得答案.

解:(1)由題意得:

化簡可得:,

當(dāng)時,,此時軌跡為軸所在的直線;

當(dāng)時,可得:,

此時軌跡為以為圓心,為半徑的圓;

2時,可得曲線的方程為:

由曲線向左平移三個單位長度得到曲線,可得的方程為:,

點(diǎn)的坐標(biāo)為,由點(diǎn),

可得,,

故可得:

,其中,

可得的最小值為:;

3)由(2)可得曲線的方程為:

由直線與曲線交于CD兩點(diǎn),設(shè)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo),

聯(lián)立直線與圓,可得

可得:,,

由點(diǎn),可得,,

可得:,

可得,

恒為定值,故的值無關(guān),故可得

點(diǎn)P的坐標(biāo),定值為.

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(Ⅰ)求這名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù);

(Ⅱ)若周課外平均學(xué)習(xí)時間超過小時稱為“努力型”學(xué)生,否則稱為“非努力型”學(xué)生,列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)?

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