Question

如圖,是橢圓的左、右頂點(diǎn),橢圓的離心率為,右準(zhǔn)線的方程為.

（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)是橢圓上異于的一點(diǎn),直線交于點(diǎn),以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點(diǎn),求截直線所得的弦長(zhǎng)；
②設(shè)與直線交于點(diǎn),試證明:直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1） （2） ①②

試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數(shù)法.關(guān)鍵是找全所需條件. 橢圓中三個(gè)未知數(shù)的確定只需兩個(gè)獨(dú)立條件，由可得值，（2） ①求圓被直線所截得弦長(zhǎng)時(shí)，利用半徑、半弦長(zhǎng)、圓心到直線距離三者成勾股列等量關(guān)系，先分別確定直線的方程與圓K的方程，②證明直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),實(shí)質(zhì)為求直線與軸的交點(diǎn).由①知，點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)，先表示直線的方程，與圓的方程聯(lián)立解出點(diǎn)P的坐標(biāo).由得直線的斜率，從而得直線的方程，再令,得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為，利用點(diǎn)M滿足化簡(jiǎn)得
試題解析：（1）由，解得，故
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034002033693.png" style="vertical-align:middle;" />,所以直線的方程為，從而的方程為 6分
又直線的方程為,故圓心到直線的距離為  8分
從而截直線所得的弦長(zhǎng)為   9分
②證:設(shè),則直線的方程為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,又直線的斜率為,而,
所以,從而直線的方程為 12分
令,得點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為      13分
又點(diǎn)M在橢圓上,所以,即,故,
所以直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為      15分