Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，過(guò)點(diǎn)F₁的直線l交橢圓C于E、G兩點(diǎn)，且△EGF₂的周長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足＋＝t (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|－|＜時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）∪.

(1)由題意知橢圓的離心率e＝＝，∴e²＝＝＝，即a²＝2b².
又△EGF₂的周長(zhǎng)為4，即4a＝4，∴a²＝2，b²＝1.
∴橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)由題意知直線AB的斜率存在，即t≠0.
設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，由，
得(1＋2k²)x²－8k²x＋8k²－2＝0.
由Δ＝64k⁴－4(2k²＋1)(8k²－2)＞0，得k²＜.
x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
∵＋＝t，∴(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝t(x，y)，x＝＝，y＝＝[k(x₁＋x₂)－4k]＝.
∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴＋2＝2，
∴16k²＝t²(1＋2k²)．
∵|－|＜，∴|x₁－x₂|＜，
∴(1＋k²)[(x₁＋x₂)²－4x₁x₂]＜，
∴(1＋k²) ＜，
∴(4k²－1)(14k²＋13)＞0，∴k²＞.
∴＜k²＜.∵16k²＝t²(1＋2k²)，∴t²＝＝8－，
又<1＋2k²<2，∴<t²＝8－＜4，
∴－2＜t＜－或＜t＜2，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為∪.