【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點，.

（1）若線段的中點為，求直線的方程；

（2）若的斜率為，且過橢圓的左焦點，的垂直平分線與軸交于點，求證：為定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用點差法可求得直線的斜率，進而求得直線的方程；

（2）設，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理的形式，進而表示出中點坐標；當時，易求得的值；當時，可得垂直平分線方程，進而求得點坐標和，利用弦長公式求得，進而求得的值；綜合兩種情況可知為定值.

（1）設，，

則，兩式作差得：，

中點為，，，

直線的方程為：，即：.

（2）由橢圓方程知：，可設直線的方程：，

聯(lián)立得：，

設，，則，，

，

，，

當時，，，；

當時，的垂直平分線方程為：，

令得：，，，

，

；

綜上所述：為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點，與相交于點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列有關命題的說法正確的是___（請?zhí)顚懰姓_的命題序號）．

①命題“若，則”的否命題為：“若，則”；

②命題“若，則”的逆否命題為真命題；

③條件，條件，則是的充分不必要條件；

④已知時，，若是銳角三角形，則.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某區(qū)在2019年教師招聘考試中，參加、、、四個崗位的應聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例（精確到1%）如下：

崗位

男性應聘人數(shù)

男性錄用人數(shù)

男性錄用比例

女性應聘人數(shù)

女性錄用人數(shù)

女性錄用比例

269

167

62%

40

24

60%

217

69

32%

386

121

31%

44

26

59%

38

22

58%

3

2

67%

3

2

67%

總計

533

264

50%

467

169

36%

（1）從表中所有應聘人員中隨機抽取1人，試估計此人被錄用的概率；

（2）將應聘崗位的男性教師記為，女性教師記為，現(xiàn)從應聘崗位的6人中隨機抽取2人.

（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

（ii）設為事件“抽取的2人性別不同”，求事件發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是邊長為6的等邊三角形，D，E分別為AA1，BC的中點．

（1）證明：AE//平面BDC1；

（2）若異面直線BC1與AC所成角的余弦值為．求DE與平面BDC1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，焦距為.

（1）求的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點（點，均在第一象限），為坐標原點.

①證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列.

②若與關于軸對稱，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（1）直線在矩陣所對應的變換下得到直線，求的方程.

（2）已知點是曲線（為參數(shù)，）上一點，為坐標原點直線的傾斜角為，求點的坐標.

（3）求不等式的解集.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值．經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到該樣本的頻率分布直方圖，其中質(zhì)量指標值不大于1.50的莖葉圖如圖所示，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值在各區(qū)間內(nèi)的頻率代替相應區(qū)間的概率．

（1）求圖中，，的值；

（2）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)及方差（說明：①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；②方差的計算只需列式正確）；

（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標值不低于1.50的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的”的規(guī)定？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設圓，圓的半徑分別為1，2，且兩圓外切于點，點，分別是圓，圓上的兩動點，則的取值范圍是（ ）

A.B.

C.D.

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