【題目】已知拋物線方程為x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)為F,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)焦點(diǎn)F作斜率為k(k≠0)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線,設(shè)兩條切線交于點(diǎn)M.
(1)求 ;
(2)設(shè)直線MF與拋物線交于C,D兩點(diǎn),且四邊形ACBD的面積為 ,求直線AB的斜率k.

【答案】
(1)解:設(shè)直線AB方程為 ,

聯(lián)立直線AB與拋物線方程

,得x2﹣2pkx﹣p2=0,

則x1+x2=2pk,x1x2=﹣p2

可得 =x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+(kx1+ )(kx2+

=(1+k2)x1x2+ + (x1+x2

=(1+k2)(﹣p2)+ + 2pk=﹣ p2


(2)解:由x2=2py,知 ,

可得曲線在A,B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為

即有AM的方程為 ,BM的方程為

解得交點(diǎn) ,

,知直線MF與AB相互垂直.

由弦長(zhǎng)公式知,|AB|=

= =2p(1+k2),

代k得, ,

四邊形ACBD的面積 ,

依題意,得 的最小值為 ,

根據(jù) 的圖象和性質(zhì)得,k2=3或 ,


【解析】(1)設(shè)出直線AB的方程,代入拋物線的方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)滿足直線方程,由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡(jiǎn)即可得到所求值;(2)求得切線的斜率和切線的方程,運(yùn)用弦長(zhǎng)公式,可得|AB|,|CD|,求得四邊形ABCD的面積,運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),解方程可得k的值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,AB、PA、PBC分別為⊙O的切線和割線,切點(diǎn)ABD的中點(diǎn),ACBD相交于點(diǎn)E,AB、PE相交于點(diǎn)F,直線CF交⊙O于另一點(diǎn)G、PA于點(diǎn)K.

證明:(1)KPA的中點(diǎn);(2)..

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】f(x)=
(1)用直尺或三角板畫出y=f(x)的圖象;
(2)求f(x)的最小值和最大值以及單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列函數(shù)中在 上為減函數(shù)的是(
A.y=2cos2x﹣1
B.y=﹣tanx
C.
D.y=sin2x+cos2x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】選修4﹣1:平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑,弦BD,CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證:∠DEA=∠DFA;
(2)若∠EBA=30°,EF= ,EA=2AC,求AF的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知是兩條不同直線,,是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是 ( )

A. ,垂直于同一平面,則平行

B. ,則

C. 不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線

D. ,不平行,則不可能垂直于同一平面

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)圖象上任意一點(diǎn),且y02≥x02,則f(x)的解析式可以是_____.(填序號(hào))

①f(x)=x﹣②f(x)=ex﹣1(e≈2.718,是一個(gè)重要常數(shù))③f(x)=x+④y=x2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)判斷的單調(diào)性并用定義證明;

(3)已知不等式恒成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)對(duì)任意的, ,恒有,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案