【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)對任意的, ,恒有,求正實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】試題分析:(1)先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),再對字母a分類討論,在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間.
(2)根據(jù)第一問的單調(diào)性,知f(x)在[1,2]上為減函數(shù).若x1=x2,則原不等式恒成立;若x1≠x2,不妨設(shè)1≤x1<x2≤2,則f(x1)>f(x2),,所以原不等式進行化簡整理得對任意的恒成立,令,轉(zhuǎn)化成研究g(x)在[1,2]的單調(diào)性,再利用導(dǎo)數(shù)即可求出正實數(shù)λ的取值范圍.
試題解析:
(1)=,
令f'(x)=0,則x1=2a+1,x2=1.
①當a=0時,,所以f(x)增區(qū)間是(0,+∞);
②當a>0時,2a+1>1,
所以f(x)增區(qū)間是(0,1)與(2a+1,+∞),減區(qū)間是(1,2a+1);
③當時,0<2a+1<1,
所以f(x)增區(qū)間是(0,2a+1)與(1,+∞),減區(qū)間是(2a+1,1);
④當時,2a+1≤0,
所以f(x)增區(qū)間是(1,+∞),減區(qū)間是(0,1).
(2)因為,所以(2a+1)∈[4,6],
由(1)知f(x)在[1,2]上為減函數(shù).
若x1=x2,則原不等式恒成立,∴λ∈(0,+∞).
若x1≠x2,不妨設(shè)1≤x1<x2≤2,則f(x1)>f(x2),,
所以原不等式即為:,
即對任意的,x1,x2∈[1,2]恒成立.
令,
所以對任意的,x1,x2∈[1,2]有g(shù)(x1)<g(x2)恒成立,
所以在閉區(qū)間[1,2]上為增函數(shù).
所以g'(x)≥0對任意的,x∈[1,2]恒成立.
而,g'(x)=x﹣(2a+2),化簡即x3﹣(2a+2)x2+(2a+1)x+λ≥0,
即(2x﹣2x2)a+x3﹣2x2+x+λ≥0,其中.
∵x∈[1,2],∴2x﹣2x2≤0,∴只需.
即x3﹣7x2+6x+λ≥0對任意x∈[1,2]恒成立.
令h(x)=x3﹣7x2+6x+λ,x∈[1,2],h'(x)=3x2﹣14x+6<0恒成立.
∴h(x)=x3﹣7x2+6x+λ在閉區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),則hmin(x)=h(2)=λ﹣8,
∴hmin(x)=h(2)=λ﹣8≥0,解得λ≥8.
故正實數(shù)λ的取值范圍[8,+∞)
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【題目】已知拋物線方程為x2=2py(p>0),其焦點為F,點O為坐標原點,過焦點F作斜率為k(k≠0)的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B兩點分別作拋物線的兩條切線,設(shè)兩條切線交于點M.
(1)求 ;
(2)設(shè)直線MF與拋物線交于C,D兩點,且四邊形ACBD的面積為 ,求直線AB的斜率k.
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【題目】在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中,武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨立的,且命中的概率都是 .
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為ξ.求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ).( 結(jié)果用分數(shù)表示)
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【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BA⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2,PA=3,PA⊥底面ABCD,E是棱PD上異于P,D的動點.設(shè) =m,則“0<m<2”是三棱錐C﹣ABE的體積不小于1的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】已知a>0且a≠1,若函數(shù)f(x)=loga[ax2﹣(2﹣a)x+3]在[ ,2]上是增函數(shù),則a的取值范圍是 .
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【題目】設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且對任意,當時,都有.
(1)若,試比較與的大小關(guān)系;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點,F(xiàn)為AC和BD的交點.
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)證明:平面PAC⊥平面PBD.
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【題目】如圖,已知等邊中,分別為邊的中點,為的中點,為邊上一點,且,將沿折到的位置,使平面平面EFCB.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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