【題目】在四棱錐中,平面是正三角形,的交點恰好是中點,又,.

(1)求證:;

(2)設(shè)的中點,點在線段上,若直線平面,求的長;

(3)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)1;(3).

【解析】

1)利用線面垂直的判定定理,證明BD⊥平面PAC,可得BDPC;(2)取DC中點G,連接FG,證明平面EFG∥平面PAD,可得FG∥平面PAD,證明三角形AMF為直角三角形,即可求AF的長;(3)建立空間直角坐標系,求出平面PAC、平面PBC的法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角APCB的余弦值.

(1)∵是正三角形,中點,

,即.

又∵平面,.

,平面.

.

(2)取中點,連接,則平面,

又直線平面,EG∩EF=E,所以平面平面,所以

中點,,.

,,則三角形AMF為直角三角形,又,故

(3)分別以,軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,

,,,.

為平面的法向量.

.

設(shè)平面的一個法向量為,

,即,

,得,則平面的一個法向量為

設(shè)二面角的大小為,則.

所以二面角余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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A.886B.500C.300D.134

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1) 若2019年到本市景區(qū)旅游游客為500萬人,試估計2019年有多少游客在本市的年旅游消費支出不低于1820元;

2) 現(xiàn)依次抽取個游客,假設(shè)每個游客的旅游消費支出相互獨立,記事件表示“連續(xù)3人的旅游消費支出超出”.若表示的概率,為常數(shù)),且.

)求,,

)判斷并證明數(shù)列從第三項起的單調(diào)性,試用概率統(tǒng)計知識解釋其實際意義.

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