【題目】已知函數(shù)。

1)若fx)的圖象與gx)的圖象所在兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)在y軸上,且在該點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直,求bc的值。

2)若ac1,b0,試比較fx)與gx)的大小,并說明理由;

3)若bc0,證明:對(duì)任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)m,使得當(dāng)x時(shí),

恒有fx)>gx)成立。

【答案】(12)當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .(3)詳見解析

【解析】試題分析:(1)由題意得, ,即2)構(gòu)造函數(shù).當(dāng)時(shí), , ,

當(dāng)時(shí),設(shè),則,當(dāng)時(shí), 取得極小值, 且極小值為,故上單調(diào)遞增, 3)構(gòu)造函數(shù),則,故上有最小值, ,存在,使當(dāng)時(shí),恒有;若,存在,使當(dāng)時(shí),恒有;,存在,使當(dāng)時(shí),恒有

試題解析:(1)解: , , , , 2

依題意: ,所以 ; 4

2)解: 時(shí), 5

時(shí), ,即

時(shí), , ,即

時(shí),令,.

設(shè),則,

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí), 取得極小值, 且極小值為

恒成立,故上單調(diào)遞增,,

因此,當(dāng)時(shí), ,. 9

綜上,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 10

3

證法一:,由(2)知,當(dāng)時(shí), .,

所以, 時(shí),取,即有當(dāng),恒有.

, ,等價(jià)于

,.當(dāng)時(shí), 內(nèi)單調(diào)遞增.

,,所以內(nèi)單調(diào)遞增.

即存在,當(dāng)時(shí),恒有. 15

綜上,對(duì)任意給定的正數(shù),總存在正數(shù),使得當(dāng),恒有. 16

證法二:設(shè),則,

當(dāng)時(shí), 單調(diào)減,當(dāng)時(shí), , 單調(diào)增,

上有最小值, , 12

,則上恒成立,

即當(dāng)時(shí),存在,使當(dāng)時(shí),恒有

,存在,使當(dāng)時(shí),恒有;

,同證明一的, 15

綜上可得,對(duì)任意給定的正數(shù),總存在,當(dāng)時(shí),恒有. 16

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A.
B.
C.
D.

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