已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
,過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B,定直線x=4交x軸于點(diǎn)K,直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2
(1)若直線l的傾斜角是45°,求線段AB的長;
(2)求證:k1+k2=0.
(1)直線l的方程是y=x-1,代入橢圓方程整理得:7x2-8x-8=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
8
7
,x1x2=-
8
7
.…2分
|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
2
(
8
7
)2+
32
7
=
24
7
.…5分
(2)證明:當(dāng)l⊥x軸時(shí),由橢圓的對稱性易知k1+k2=0;…6分
當(dāng)l不與x軸垂直時(shí),設(shè)其方程是:y=k(x-1)代入橢圓方程整理得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,易知其判別式△>0恒成立,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
8k2
3+4k2
,x1x2=
4k2-12
3+4k2
.…9分
而K(4,0)
則k1+k2=
y1
x1-4
+
y2
x2-4
=
x1y2+y1x2-4(y1+y2)
(x1-4)(x2-4)
=
k[2x1xx-5(x1+x2)+8]
(x1-4)(x2-4)
=0
即k1+k2=0
綜上總有k1+k2=0.…13分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過Q點(diǎn)的直線l與拋物線有公共點(diǎn),求直線l的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓C:
x2
4
+
y2
m
=1(0<m<4)的左頂點(diǎn)為A,M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對稱.
(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3),求m的值;
(2)若橢圓C上存在點(diǎn)M,使得OP⊥OM,求實(shí)數(shù)m的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1
,直線l過點(diǎn)M(m,0).
(Ⅰ)若直線l交y軸于點(diǎn)N,當(dāng)m=-1時(shí),MN中點(diǎn)恰在橢圓C上,求直線l的方程;
(Ⅱ)如圖,若直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),當(dāng)m=-4時(shí),在x軸上是否存在點(diǎn)p,使得△PAB為等邊三角形?若存在,求出點(diǎn)p坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:y2=8x,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l:y=k(x+2)與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A,B
(1)求證:
OA
OB
為常數(shù);
(2)求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、F2(1,0),O是坐標(biāo)原點(diǎn),C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B,且△AOB的面積為
5

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(4,0)作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N,交y軸于Q點(diǎn),證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值,并求這個(gè)定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線C:
x2
m+2
+
y2
3-m
=1
(m∈R).
(Ⅰ)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)m=2,過點(diǎn)D(0,4)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若∠OMN為直角,求直線l的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
經(jīng)過如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn):P1(-1,-
2
2
)
,P2(0,1),P3(
1
2
,
2
2
)
,P4(1,
2
2
)
,P5(1,1).
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn),B,C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn),若原點(diǎn)在△ABC的外部,且△ABC為直角三角形,求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
2
2
,直線l:y=x+2與原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)M(0,2)的直線l1與橢圓C交于G,H兩點(diǎn).設(shè)直線l1的斜率k>0,在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0),使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形.如果存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍,如果不存在,請說明理由.

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同步練習(xí)冊答案