已知拋物線(xiàn)C：y2=8x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)l：y=k（x+2）與拋物線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿(mǎn)足
OM
=
OA
+
OB
的點(diǎn)M的軌跡方程．
將y=k（x+2）代入y2=8x，整理得k2x2+（4k2-8）x+4k2=0，
∵動(dòng)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于不同兩點(diǎn)A、B，
∴k≠0且△＞0，即
k≠0
(4k2-8)2-16k4＞0
解得：-1＜k＜1且k≠0．
設(shè)A（x1，y2），B（x2，y2），則x1+x2=
8
k2
-4，x1x2=4．
（1）證明：
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+2)(x2+2)
=(k2+1)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=4(k2+1)+2k2(
8
k2
-4)+4k2=20，
∴
OA
•
OB
為常數(shù)．
（2）
OM
=
OA
+
OB
=(x1，y1)+(x2，y2)=（x1+x2，y1+y2）=（x1+x2，k（x1+x2+4））=(
8
k2
-4，
8
k
)．
設(shè)M（x，y），則
x=
8
k2
-4
y=
8
k
消去k得：y2=8x+32．
又由-1＜k＜1且k≠0得：0＜k2＜1，
1
k2
＞1，∴x=
8
k2
-4＞4，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y2=8x+32（x＞4）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)方程為y=±
4
3
x，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2
3
，
4
3
3
)
（1）求雙曲線(xiàn)E的方程；
（2）F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)D（0，4）的直線(xiàn)l與橢圓C交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OE⊥OF，求直線(xiàn)l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線(xiàn)C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線(xiàn)l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設(shè)P是點(diǎn)F1關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)△PF1F2為等腰三角形時(shí)，求e的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

在同一坐標(biāo)系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1與bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲線(xiàn)大致是（　�。�
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓交于點(diǎn)A、B，定直線(xiàn)x=4交x軸于點(diǎn)K，直線(xiàn)KA和直線(xiàn)KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線(xiàn)l的傾斜角是45°，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A1（-3，0）A2（3，0）P（x，y）M（
x2-9
，0），若向量
A1P
，λ
OM
，
A2P
滿(mǎn)足(
OM
)2=3
A1P
•
A2P

（1）求P點(diǎn)的軌跡方程，并判斷P點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線(xiàn)；
（2）過(guò)點(diǎn)A1且斜率為1的直線(xiàn)與（1）中的曲線(xiàn)相交的另一點(diǎn)為B，能否在直線(xiàn)x=-9上找一點(diǎn)C，使△A1BC為正三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)M作AB的垂線(xiàn)，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點(diǎn)到A、B的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過(guò)（0，
1
2
）的直線(xiàn)與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在直線(xiàn)l：x-y+9=0上任取一點(diǎn)M，過(guò)M作以F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）為焦點(diǎn)的橢圓，當(dāng)M在什么位置時(shí)，所作橢圓長(zhǎng)軸最短？并求此橢圓方程．

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