如圖，橢圓C：
x2
4
+
y2
m
=1（0＜m＜4）的左頂點(diǎn)為A，M是橢圓C上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點(diǎn)M，使得OP⊥OM，求實(shí)數(shù)m的最大值．
（1）依題意，M是線段AP的中點(diǎn)，
因?yàn)锳（-2，0），P（4，3），
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，
3
2
)．
由點(diǎn)M在橢圓C上，所以
1
4
+
9
4m
=1，
解得m=3．
（2）設(shè)M（x0，y0），則
x20
4
+
y20
m
=1①，由題意知-2＜x0＜2．
因?yàn)镸是線段AP的中點(diǎn)，所以P（2x0+2，2y0）．
因?yàn)镺P⊥OM，所以x0(2x0+2)+2y02=0．②
由①②消去y0，整理可得m=
4x0(x0+1)
x02-4
=4+
4
(x0+4)+
12
x0+4
-8
≤2-
3
，
當(dāng)且僅當(dāng)x0=-4+2
3
時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)?＜m＜4，
所以m的最大值是2-
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

橢圓
x2
2
+
y2
=1上的點(diǎn)到直線2x-y=7距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）
A．（-
4
3
，
1
3
）		B．（
4
3
，-
1
3
）		C．（-
4
3
，
17
3
）		D．（
4
3
，-
17
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4且b=
3
．
（1）求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求△F1PQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓方程為x2+
y2
4
=1，過點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(
1
2
，
1
2
)，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：
（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）|
NP
|的最小值與最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，長(zhǎng)軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OE⊥OF，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
12
+
y2
8
=1上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l：6x-6y-1=0對(duì)稱，則PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（　　）
A．(
1
3
，
1
6
)		B．(
1
2
，
1
3
)		C．(-
1
3
，-
1
2
)		D．(-
1
2
，-
1
3
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：直線l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）設(shè)直線l與雙曲線C的公共點(diǎn)為M，且
AM
=λ
AB
，證明：λ+e2=1；
（3）設(shè)P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)△PF1F2為等腰三角形時(shí)，求e的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于點(diǎn)A、B，定直線x=4交x軸于點(diǎn)K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線y2=2
5
x的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(1，
3
)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實(shí)數(shù)k值．

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