Question

【題目】已知四邊形是正方形，平面，平面，，為棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接、、，推出為等腰三角形，，，從而四邊形為平行四邊形，進(jìn)而，推導(dǎo)出，，由此能證明平面．

（2）取的中點(diǎn)，連接、，為的中位線(xiàn)，，由平面，由此平面，從而斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影為，直線(xiàn)與平面所成角為，能求出直線(xiàn)與平面所成角的正切值．

解：如圖所示：連接、、

（1）證明：四邊形是正方形，且

即為等腰三角形

又為棱的中點(diǎn)，得：

平面，平面，得：

又，則四邊形為平行四邊形

又正方形，

即為等腰三角形

又，，平面，平面

平面

（2）取的中點(diǎn)，連接、

點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)

為的中位線(xiàn)

又平面

平面

為斜線(xiàn)過(guò)點(diǎn)向平面的一條垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，則斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影為，直線(xiàn)與平面所成角為，設(shè)

由幾何關(guān)系可得：，

在中得：.