【題目】已知拋物線C:=2px經(jīng)過點(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.
(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)設O為原點,,,求證:為定值.
【答案】(1) 取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1)
(2)證明過程見解析
【解析】分析:(1)先確定p,再設直線方程,與拋物線聯(lián)立,根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍,最后根據(jù)PA,PB與y軸相交,舍去k=3,(2)先設A(x1,y1),B(x2,y2),與拋物線聯(lián)立,根據(jù)韋達定理可得,.再由,得,.利用直線PA,PB的方程分別得點M,N的縱坐標,代入化簡可得結論.
詳解:解:(Ⅰ)因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.
由題意可知直線l的斜率存在且不為0,
設直線l的方程為y=kx+1(k≠0).
由得.
依題意,解得k<0或0<k<1.
又PA,PB與y軸相交,故直線l不過點(1,-2).從而k≠-3.
所以直線l斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2).
由(I)知,.
直線PA的方程為y–2=.
令x=0,得點M的縱坐標為.
同理得點N的縱坐標為.
由,得,.
所以.
所以為定值.
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【題目】點為所在的平面內(nèi),給出下列關系式:
①;
②;
③.
則點依次為的( )
A.內(nèi)心、重心、垂心B.重心、內(nèi)心、垂心C.重心、內(nèi)心、外心D.外心、垂心、重心
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【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對居民用水情況進行調(diào)查,通過抽樣,獲得某年100為居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖的的值;
(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),說明理由.
(3)估計居民月用水量的中位數(shù).
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【題目】已知直線,和兩點,給出如下結論其中真命題的序號是________
①當變化時,與分別經(jīng)過定點和;
②不論為何值時,與都互相垂直;
③如果與交于點,則的最大值是2;
④為直線上的點,則的最小值是.
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【題目】關于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(x∈R),有下列命題:
①y=f(x)的表達式可改寫為y=4cos(2x﹣);
②y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù);
③y=f(x)的圖象關于點對稱;
④y=f(x)的圖象關于直線x=﹣對稱.
其中正確的命題的序號是 .
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【題目】某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件需另投人成本萬元.當年產(chǎn)量不足80千件時,(萬元);當年產(chǎn)量不小于80千件時,萬元,每千件產(chǎn)品的售價為50萬元,該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.
(1)寫出年利潤萬元關于千件的函數(shù)關系式;
(2)當年產(chǎn)量為多少千件時該廠當年的利潤最大?
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