【題目】已知拋物線C=2px經(jīng)過點(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點AB,且直線PAy軸于M,直線PBy軸于N

求直線l的斜率的取值范圍;

O為原點,求證為定值

【答案】(1) 取值范圍是-∞,-3)-3,0)(0,1)

(2)證明過程見解析

【解析】分析:(1)先確定p,再設直線方程,與拋物線聯(lián)立,根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍,最后根據(jù)PAPBy軸相交,舍去k=3,(2)先設Ax1,y1),Bx2,y2),與拋物線聯(lián)立,根據(jù)韋達定理可得,再由,,利用直線PA,PB的方程分別得點M,N的縱坐標,代入化簡可得結論.

詳解:解:Ⅰ)因為拋物線y2=2px經(jīng)過點P(1,2),

所以4=2p,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x

由題意可知直線l的斜率存在且不為0,

設直線l的方程為y=kx+1(k≠0).

依題意,解得k<00<k<1.

PAPBy軸相交,故直線l不過點(1,-2).從而k-3.

所以直線l斜率的取值范圍是-∞,-3)-3,0)(0,1).

(Ⅱ)設Ax1,y1),Bx2,y2).

由(I)知,

直線PA的方程為y–2=

x=0,得點M的縱坐標為

同理得點N的縱坐標為

,,

所以

所以為定值

練習冊系列答案
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;

.

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