Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）在AB上是否存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC₁兩兩垂直，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC₁分別為x軸y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）．

∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），∴•=0，即⊥，
∴AC⊥BC₁．
（2）解：假設在AB上存在點D使得AC₁∥平面CDB₁，則=λ=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，則D（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-4），
又=（0，-4，-4），=（-3，0，4），AC₁∥平面CDB₁，所以存在實數m，n，使=m+n成立，
∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，
所以λ=，所以在AB上存在點D使得AC₁∥平面CDB₁，且D為AB的中點．
分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用向量的數量積為0，證明向量垂直；
（2）假設在AB上存在點D使得AC₁∥平面CDB₁，則利用AC₁∥平面CDB₁，存在實數m，n，使=m+n成立，即可求得結論．
點評：本題考查利用向量知識解決立體幾何問題，考查線線垂直，考查探索型問題，解題的關鍵是建立坐標系，用坐標表示向量．