分析:(Ⅰ)由已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,我們易得A1B⊥AB1,AC1⊥A1B,由線面垂直的判定定理可得A1B⊥面AB1C1,進(jìn)而A1B⊥B1C1,BB1⊥B1C1,結(jié)合垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)解法一:根據(jù)條件易知∠DA1E即為A1E與平面A1BD所成角,從而可求線面角;
解法二:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,BC,BB1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,將線面角轉(zhuǎn)化為利用兩向量的夾角求解即可.
解答:證明:(Ⅰ)∵ABC-A
1B
1C
1是直三棱柱
∴四邊形ABB
1A
1為平行四邊形
∵AB=B
1B,∴平行四邊形ABB
1A
1為正方形,∴A
1B⊥AB
1,
又∵AC
1⊥面A
1BD,∴AC
1⊥A
1B,∴A
1B⊥面AB
1C
1,…(3分)
∴A
1B⊥B
1C
1,又BB
1⊥B
1C
1,∴B
1C
1⊥平面ABB
1A.…(6分)
解法一:(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)E為C
1C的中點(diǎn)時(shí)DE∥AC
1,
∵AC
1平面A
1BD,
∴DE⊥平面A
1BD,
則∠DA
1E即為A
1E與平面A
1BD所成角 …(9分)
在矩形ACC
1A
1中,由AC
1⊥A
1D
可知△A
1AD≈△ACC
1,則
AC=AA1,…(11分)
故AB=BC,不妨設(shè)AB=2,則
DE=,A1E=3,
故A
1E與平面A
1BD所成角的正弦值為
.…(14分)
解法二:在矩形ACC
1A
1中,由AC
1⊥A
1D
可知△A
1AD≈△ACC
1,則
AC=AA1,故AB=BC,…(9分)
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=2,則A(2,0,0),A
1(2,0,2),C
1(0,2,2),E(0,2,1),
可得
=(-2,2,2),=(-2,2,-1)…(11分)
由題意可知
即為平面A
1BD的一個(gè)法向量,
故A
1E與平面A
1BD所成角的正弦值為
sin<,>==.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以直三棱柱為載體,考查線面垂直,考查用空間向量求平面間的夾角,其中(1)的關(guān)鍵是熟練掌握直三棱柱的幾何特征及線面垂直的判定定理,(2)轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角,利用數(shù)量積求解.