分析:(1)利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定定理即可得出;
(2)利用直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明;
(3)利用面面垂直的判定定理即可證明.
解答:證明:(1)連接AB
1與A
1B相較于點M,連接MD,則點M為AB
1的中點.
又D為AC的中點,由三角形的中位線定理可得:MD∥B
1C.
又∵B
1C?平面A
1BD,MD?平面A
1BD,
∴B
1C∥平面A
1BD;
(2)∵AB=B
1B,及直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,
∴四邊形ABB
1A
1為正方形,BB
1⊥B
1C
1.
∴A
1B⊥AB
1.
又AC
1⊥平面A
1BD,∴AC
1⊥A
1B,
又AB
1∩AC
1=A.
∴A
1B⊥平面AB
1C
1,∴A
1B⊥B
1C
1.
∵A
1B∩BB
1=B,∴B
1C
1⊥平面ABB
1A
1.
(3)設(shè)AB=a,CE=x,∵B
1C
1⊥A
1B
1,在Rt△A
1B
1C
1中,有
A1C1=a,同理
A1B1=a,∴C
1E=a-x.
∴
A1E==
,
BE=,
∴在△A
1BE中,由余弦定理得
BE2=A1B2+A1E2-2A1B•A1Ecos45°,
即a
2+x
2=2a
2+x
2+3a
2-2ax-
2a×.
∴
=2a-x,
∴
x=a,即E是C
1C的中點.
∵D、E分別為AC、C
1C的中點,∴DE∥AC
1.
∵AC
1⊥平面A
1BD,∴DE⊥平面A
1BD.
又DE?平面BDE,∴平面A
1BD⊥平面BDE.
點評:熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定定理、直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.