【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣ax(a∈R).
(1)當a= 時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當a= 時,函數(shù)f(x)= x,

∴f′(x)= + = = ,

令f′(x)=0,解得x=0.或x=ln2,

當f′(x)>0時,即x<0,或x>ln2,故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,

當f′(x)<0時,即0<x<ln2,故函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,

所以函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞.0)∪(ln2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,ln2)


(2)解:∵f′(x)= + ﹣a,

①若函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上為單調(diào)減函數(shù),

∴f′(x)= + ﹣a≤0,在[﹣1,1]恒成立,

即a≥ +

令g(x)= + ,

則g′(x)= =

當x∈[﹣1,ln ),g(x)單調(diào)遞減,x∈(ln ,1]單調(diào)遞增,

又因為g(1)= ,g(﹣1)= ,

g(1)<g(﹣1),

故g(x)max=g(﹣1)= ,

故a≥ ,

②若函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上為單調(diào)增函數(shù),

∴f′(x)= + ﹣a>0,在[﹣1,1]恒成立,

即a< +

令h(x)= +

則h′(x)= = ,

當x∈[﹣1,ln ),g(x)單調(diào)遞減,x∈(ln ,1]單調(diào)遞增,

故當x=ln ,h(x)有最小值,最小值為h(x)min=h(ln )=

故a≤ ,

綜上所述實數(shù)a的取值范圍為(﹣∞, ]∪[ ,+∞)


【解析】(1)先求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)需要分兩類,函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上為單調(diào)減函數(shù)和函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上為單調(diào)增函數(shù),然后分離參數(shù),根據(jù)函數(shù)的最值,求出范圍即可.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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2

3

4

5

6

8

9

11

1

2

3

3

4

5

6

8

請回答:

(Ⅰ)請用相關(guān)系數(shù)說明之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系(當時,說明之間具有線性相關(guān)關(guān)系);

(Ⅱ)根據(jù)1的判斷結(jié)果,建立之間的回歸方程,并預(yù)測當時,對應(yīng)的利潤為多少(精確到).

附參考公式:回歸方程中最小二乘估計分別為,,

相關(guān)系數(shù).

參考數(shù)據(jù): .

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②p是q的必要不充分條件,則¬p是¬q的充分不必要條件;
③命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題;
④“m=﹣1”是“直線l1:mx+(2m﹣1)y+1=0與直線l2:3x+my+3=0垂直”的充要條件.
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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