設拋物線C:y=x2-2m2x-(2m2+1)(m∈R),
(1)求證:拋物線C恒過x軸上一定點M;
(2)若拋物線與x軸的正半軸交于點N,與y軸交于點P,求證:PN的斜率為定值;
(3)當m為何值時,△PMN的面積最小?并求此最小值.
分析:(1)整理拋物線方程后x-1=0,即x=1時,求得y=0,進而可推斷拋物線恒過(1,0).
(2)令y=0得到關于x的一元二次方程,求得方程的根,進而確定n點坐標,令x=0,則可求得y,進而可得P點坐標.
(3)依題得mn為三角形PMN的底,P點縱坐標的長度為三角形PMN的高.根據(jù)點P的坐標求得三角形的高,最后根據(jù)三角形面積公式得到三角形面積的表達式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最小值.
解答:解:(1)由y=x2-2m2x-(2m2+1)得
y=x2-2m2(x-1)-1
令x-1=0,即x=1,則無論m為何值,總有y=12-0-1=0.即拋物線恒過(1,0).
(2)令y=0,有[x-(2m2+1)](x+1)=0,解得x=2m2+1或x=-1,由于-1<0,故n點坐標為(2m2+1,0).
令x=0,得y=-(2m2+1),即p點坐標為(0,-(2m2+1)).
故pn的斜率=
-(2m2+1)-0
0-(2m 2+1)
=1為定值.
(3)依題得mn為三角形PMN的底,P點縱坐標的長度為三角形PMN的高.且
mn=2m2+1-1=2m2
p點縱坐標的長度=2m2+1
故S△PMN=
1
2
•2m2•(2m2+1)=2m4+m2,故當m=0時,三角形PMN面積有最小值0
點評:本題主要考查了拋物線的應用.考查了學生綜合分析問題和運算的能力.
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