如圖,設(shè)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x-y-2=0上運(yùn)動(dòng),過P作拋物線C的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).
(1)求△APB的重心G的軌跡方程.
(2)證明∠PFA=∠PFB.
分析:(1)設(shè)出A、B坐標(biāo),寫出切線PA、PB方程,得到點(diǎn)P坐標(biāo),利用三角形重心坐標(biāo)公式求重心G坐標(biāo).
(2)利用兩個(gè)向量的夾角公式計(jì)算cos∠AFP和cos∠BFP相等,從而得到∠AFP=∠PFB.
方法2:利用P點(diǎn)到直線AF的距離和P點(diǎn)到直線BF的距離相等,可得FP 是AF和BF角平分線,故∠AFP=∠PFB.
解答:解:(1)設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為(x
0,x
02)和(x
1,x
12)((x
1≠x
0),
∴切線AP的方程為:2x
0x-y-x
02=0;切線BP的方程為:2x
1x-y-x
12=0.
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為:x
P=
,y
P=x
0x
1.
所以△APB的重心G的坐標(biāo)為,y
G=
=
=
=
,
所以y
p=-3y
G+4x
G2.
由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng),從而得到重心G的軌跡方程為:x-(-3y+4x
2)-2=0,即y=
(4x
2-x+2).
(2)方法1:因?yàn)?span id="nzz17rx" class="MathJye">
=(x
0,x
02-
),
=(
,x
0x
1-
),
=(x
1,x
12-
).
由于P點(diǎn)在拋物線外,則|
|≠0.
∴cos∠AFP=
=
=
,
同理有cos∠BFP=
=
=
,
∴∠AFP=∠PFB.
方法2:①當(dāng)x
1x
0=0時(shí),由于x
1≠x
0,不妨設(shè)x
0=0,則y
0=0,所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(
,0),
則P點(diǎn)到直線AF的距離為:d
1=
.
而直線BF的方程:y-
=
x,即(x
12-
)x-x
1y+
x1=0-0.
所以P點(diǎn)到直線BF的距離為:d
2=
=
=
所以d
1=d
2,即得∠AFP=∠PFB.
②當(dāng)x
1x
0≠0時(shí),直線AF的方程:y-
=
(x-0),即(x
02-
)x-x
0y+
x0=0,
直線BF的方程:y-
=
(x-0),即(x
12-
)x-x
1y+
x1=0,
所以P點(diǎn)到直線AF的距離為:d
1=
=
=
,
同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離d
2=
,因此由d
1=d
2,可得到∠AFP=∠PFB.
點(diǎn)評(píng):方法一利用兩個(gè)向量的夾角公式,方法二利用到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上,分兩種情況討論,
方法一比方法二簡(jiǎn)單,屬于中檔題.