【題目】已知函數(shù)f(x)= (x>0),m∈R.
(1)若函數(shù)f(x)有零點,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(x))處的切線的斜率為 ,且函數(shù)f(x)的最大值為M,求證:1<M< .
【答案】
(1)解:若函數(shù)f(x)有零點,
則f(x)=0有解,
即m +lnx=0有解,
即有﹣m= ,
由g(x)= 的導數(shù)為g′(x)= ,
當x>e2時,g′(x)<0,g(x)遞減;
當0<x<e2時,g′(x)>0,g(x)遞增.
可得g(x)在x=e2時,取得極大值,且為最大值 ,
可得﹣m> ,解得m<﹣ ,
則實數(shù)m的取值范圍為(﹣∞,﹣ )
(2)證明:函數(shù)f(x)= (x>0)的導數(shù)為f′(x)= ,
可得f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為1﹣ = ,
解得m=1,
即有f(x)= 的導數(shù)為f′(x)= ,
令f′(x)=0,可得lnx+ =1,
設方程的解為t,由h(x)=lnx+ ﹣1遞增,且h(1)﹣1=﹣ <0,h( )=ln + ﹣1>0,
可得1<t< ,且lnt+ =1,
即有f(x)的最大值為f(t)= =
= + =( + )2﹣ ,
可得f(t)在(1, )遞減,
f(1)= ,f( )= + >1,
即有f(t)∈(f( ),f(1)),
則有1<M<
【解析】(1)由題意可得f(x)=0有解,即m +lnx=0有解,即有﹣m= ,設g(x)= ,求得導數(shù)和單調區(qū)間,可得極大值,且為最大值,即可得到m的范圍;(2)求出f(x)的導數(shù),求得切線的斜率,可得m=1,再令f′(x)=0,設出極大值點,也即最大值點,運用函數(shù)零點存在定理,可得t的范圍,化簡整理由二次函數(shù)的單調性,即可得證.
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減即可以解答此題.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,側面PAB為等邊三角形,側棱 .
(Ⅰ)求證:PC⊥AB;
(Ⅱ)求證:平面PAB⊥平面ABC;
(Ⅲ)求二面角B﹣AP﹣C的余弦值.
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【題目】若f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足:①f(x)是偶函數(shù);②f(x+2)是偶函數(shù);③當0<x≤2時,f(x)=log2017x,當x=0時,f(0)=0,則方程f(x)=﹣2017在區(qū)間(1,10)內的多有實數(shù)根之和為( )
A.0
B.10
C.12
D.24
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【題目】已知雙曲線的離心率為2,分別是雙曲線的左、右焦點,點,,點為線段上的動點,當取得最小值和最大值時,的面積分別為,則____________.
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【題目】如圖,在幾何體ABCDQP中,AD⊥平面ABPQ,AB⊥AQ,AB∥CD∥PQ,CD=AD=AQ=PQ= AB.
(1)證明:平面APD⊥平面BDP;
(2)求二面角A﹣BP﹣C的正弦值.
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【題目】已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)+g(x)=2x , 若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
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【題目】已知拋物線C頂點在原點,焦點在y軸上,拋物線C上一點Q(a,2)到焦點的距離為3,線段AB的兩端點A(x1 , y1)、B(x2 , y2)在拋物線C上.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若y軸上存在一點M(0,m)(m>0),使線段AB經過點M時,以AB為直徑的圓經過原點,求m的值;
(3)在拋物線C上存在點D(x3 , y3),滿足x3<x1<x2 , 若△ABD是以角A為直角的等腰直角三角形,求△ABD面積的最小值.
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【題目】函數(shù)f(x)=(x﹣2)(ax+b)為偶函數(shù),且在(0,+∞)單調遞增,則f(2﹣x)>0的解集為( )
A.{x|x>2或x<﹣2}
B.{x|﹣2<x<2}
C.{x|x<0或x>4}
D.{x|0<x<4}
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 為f(x)的零點,x= 為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在( , )上單調,則ω的最大值為( )
A.11
B.9
C.7
D.5
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